contractante
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contractante



  1. #1
    369

    contractante


    ------

    Bonjour

    j'ai un problème sur un exo:

    f:[-1,1]-->R avec

    comment savoir si f est contractante car lorsque j'utilise le théorème des accroissements finis je trouve k=1?


    merci

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : contractante

    Bonsoir.

    D'abord, f n'est pas définie en -1. Si tu appliques la définition, que se passe-t-il ?

    Cordialement.

  3. #3
    369

    Re : contractante

    f est définie sur [0,1], erreur de frappe

    en faites j'utilise le théorème des accroissements finis,
    j'obtiens et je majore par |x-y|

  4. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : contractante

    Avec c entre x et y.

    le seul problème est si x (ou y) est nul (il serait encore là si 0 était exclu, mais plus complexe à présenter). Peut-on trouver un k qui convienne (avec k<1) ?

    Tu peux conclure seul, tu connais le cours.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    369

    Re : contractante

    il me semble que c dans ]x,y[, du coup que x ou y soit nul ce n'est gênant?

    d'autre part, pour moi le k n'existe pas, mais comment le montrer?

  7. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : contractante

    Bon,

    je vais "manger le morceau" : f est 1-lipschitzienne, donc pas contractante. En effet, le plus petit k qui convienne est 1.
    Tu peux montrer que pour tout k<1, si |f(x)-f(y)|<k|x-y|, alors x et y sont supérieurs à un a>0, donc f n'est pas k-lipschitzienne sur [0;1] ni sur ]0;1].

    Cordialement.

  8. #7
    369

    Re : contractante

    mais des fois, on peut avoir k=1 et la fonction est contractante donc comment savoir?

  9. #8
    taladris

    Re : contractante

    Citation Envoyé par 369 Voir le message
    mais des fois, on peut avoir k=1 et la fonction est contractante donc comment savoir?
    Salut, quelle est ta définition de contractante?
    1) -lipschitzienne avec ? Dans ce cas-là, la réponse de gg0 convient, non?
    2) Pour tout , on a ? Dans ce cas, il suffit de calculer pour étudier le caractère contractant de f.

    Wikipedia donne http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_contractante comme définition.

  10. #9
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : contractante

    369,

    si tu veux dire qu'on sait que |f(y)-f(x)|<|y-x| (k=1) mais qu'on démontre aussi que f est contractante, ce n'est qu'une question de connaissance incomplète. Je supposais que dans ta définition de contractante, c'était k<1 et je t'ai donné une voie pour y arriver. maintenant, tu peux continuer à rêver (" et si ...?", "et dans tel exercice ...", ...) ou bien te mettre à rédiger ta preuve.

  11. #10
    369

    Re : contractante

    si je prend f(x)=x/2

    j'ai, |f(x)-f(y)|<=|x-y|, du coup d'après la définition de contractante comme k=1 f n'est pas contractante. Pourtant f l'est

  12. #11
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : contractante

    Tu as aussi |f(x)-f(y)|<=2|x-y| ou même |f(x)-f(y)|<=101000|x-y|. Et alors ?
    Par contre, comme |f(x)-f(y)|<=0,5|x-y|, la définition de contractante s'applique !

    Le fait qu'une propriété différente soit vraie n'interdit pas qu'une propriété soit vraie.
    pour montrer qu'une fonction est contractante, il faut prouver que le k<1 existe. Pour prouver qu'elle ne l'est pas, il faut donc prouver que le k<1 n'existe pas.

    Cordialement.

  13. #12
    369

    Re : contractante

    ok je pense avoir compris

    si je reprend ma fonction du début, et d'après vos messages: montrer que pour tout k<1, si |f(x)-f(y)|<k|x-y|, alors x et y sont supérieurs à un a>0

    mais quel est ce a, j'ai essayé de trouver une contradiction c'est-à-dire trouver un x et y tel que |f(x)-f(y)|>k|x-y| mais sans succés

  14. #13
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : contractante

    Comme ça se passe du côté de 0 (où la dérivée vaut 1), tu peux prendre y=0 et regarder ce que ça donne.

    Cordialement.

  15. #14
    369

    Re : contractante

    effectivement cela fonctionne, merci pour votre aide

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