norme

[369]

Bonjour,

G un espace vectoriel et F un seV de G
g:G-->R linéaire continue
f:F-->R linéaire continue

Pourquoi la restriction de g à F entraine ||g||>=||f||?

merci de votre aide
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[Seirios]

Bonjour,

Il nous manque le contexte pour te répondre : quel lien y a-t-il entre f et g ?

[369]

j'essaye de montrer que ||g||=||f||

[invite4842e1dc]

G un espace vectoriel et F un seV de G
g:G-->R linéaire continue
f:F-->R linéaire continue
Pourquoi la restriction de g à F entraine ||g||>=||f||?

Salut
Je ne comprends l'énoncé de cet exo

d'après l'énoncé on a :


et est ce que la question de cet exo est : [B][I]démontrer que

et ceci quelque soit le choix des normes choisies sur F et sur G ?


Autre question :
[I]Est ce que G est un EV de dimension fini ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4842e1dc]

Explications supplémentaires :

Si G est un espace euclidien ( IR espace de dimension finie )

Via la norme "euclidienne"

je pense qu'il est évident que

car il suffit d'exprimer ces 2 normes en prenant comme base orthonormée de G une base issue d'une base orthonormée de F : par l'algorithme de Gram–Schmidt

et de calculer ces 2 expressions...

[Tryss]

Si la question c'est de montrer que en tant que formes linéaires, il suffit de revenir à la définition de la norme pour ce genre de bestioles :






Par contre il est évident qu'il n'y a pas égalité : Prends G=R², F=(1,0)R et g((x,y))=y
La norme de g (sur tout l'espace) est égale à 1 (du moins pour les normes "classiques"), tandis que sa restriction à F est la fonction nulle

[369]

pourquoi a-t-on cette définition de la norme de g? sup(...)

dans mon cours ||g||=sup{|g(x)|, ||x||=1}

[Seirios]

Bonjour,

Tu peux montrer que ces deux expressions sont équivalentes (en ajoutant que est non nul dans l'expression donnée par Tryss, ce qui est plus ou moins sous-entendu).

[369]

j'ai encore une question:

d'après l'expression de Tryss, comment montrer mon inégalité?

[Seirios]

Tu n'as pas vraiment préciser ce à quoi ton inégalité correspondait vraiment : f est-elle la restriction de g à F ?

[369]

f est la restriction de g à F

[Seirios]

Dans ce cas, c'est plutôt immédiat : tu es en train de comparer la borne supérieure d'une même expression sur deux ensembles dont l'un est inclus dans l'autre.

[369]

dans ce cas je peux aussi bien utiliser

||g||=sup{|g(x)|,||x||<=1, x dans G}

[Seirios]

Bien sûr, puisque les deux expressions sont égales.

[369]

dans l'expression qu'à marqué Tryss
Pourquoi dans la définition de la norme de la restriction, on a norme de x dans G et pas dans F?

[gg0]

Simplement pour bien marquer qu'il s'agit de la même norme. On peut l'indicer G ou F mais il vaut mieux faire apparaître l'égalité de la norme de x.

Cordialement.

NB : Si on prend une norme différente sur G, tout est remis en cause.

[invite4842e1dc]

Salut

J'ai une question :
Peux tu expliquer , quelle est la différence entre 1) et 2)

1)
G un espace vectoriel et F un seV de G
Soit :
g : G-->R linéaire continue
f : F-->R linéaire continue

2)

c'est à dire la restriction de g à F est égale à f

[Tryss]

Salut

J'ai une question :
Peux tu expliquer , quelle est la différence entre 1) et 2)

1)
G un espace vectoriel et F un seV de G
Soit :
g : G-->R linéaire continue
f : F-->R linéaire continue

2)

c'est à dire la restriction de g à F est égale à f

Si tu prends G=C (les nombres complexes), F = R (la droite réelle) ou C est vu comme espace vectoriel sur R (donc de dimension 2)

Alors :
l'application g(x+iy) = x+y est linéaire continue
l'application f(x) = -3x est linéaire continue

Mais si tu restreins g au sous espace vectoriel R, elle n'est pas égale à f


En gros, dans le 1), les deux applications peuvent très bien n'avoir aucun rapport (hormis leurs ensemble de définition et d'arrivée) tandis que dans le cas 2), il n'y a pas le choix

[invite4842e1dc]

Salut

J'ai l'impression qu'il y a une ambiguité sur les différents objets mathématiques manipulés dans cet exo

Voici peut être des explications qui pourront aider à lever cette ambiguité :


Soit G un IR-E.V. et soit F un IR-S.E.V. de l'E.V. G

- une forme linéaire quelconque nommée f de F dans IR ( F-->R ) est une application dont l'EV de départ est de dimension = dim(F)


- et la forme linéaire avec g une forme linéaire quelconque de G dans IR ( G-->R )
avec est la notation de la restriction de la forme linéaire g à l'EV F

ET la forme linéaire notée est une application dont l'EV de départ est de dimension = dim(G)