Définition de la notation différentielle

[doko25]

Bonjour,

Je suis au chapitre concernant les dérivées et je pense avoir bien compris cette notion..le soucis est que pour l'explication de la notation de différentielle il y'a un terme dont la compréhension m'échappe :

a(h) = f'(x0) + e(h) ou lim h->0 de e(h) = 0

La tangente**a pour coefficient directeur f'(x0) et la secante à pour coefficient directeur f'(x0) + e(h)

Je ne vois pas d'ou vient le terme e(h)**...si quelqu'un pouvait m'éclaircir..
Il y'a aussi une chose que je ne comprend pas c'est la différence entre dy et delta y.
Pour dx pas de soucis vu que c'est l'accroissement de x.
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer en terme de grahe ce que signifie dy...
Merci
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[doko25]

il me vient encore une remarque ..
Pour une droite d'équation y = mx + b pourra-t-on dire que delta y= dy ..??

[Dlzlogic]

Bonjour,
Si il y a des matheux parfaitement au courant des définitions actuellement en cours, qu'il me corrigent, mais gentiment.
Soit une fonction y = f(x), la dérivée en x0 est la limite de (f(x)-f(x0))/(x-x0) lorsque x tend vers x0.
On peut définir une fonction y', dérivée de y, comme étant l'ensemble des nombres dérivé en fonction de x.
y' = f'(x).
Or y' est la pente (coefficient directeur) de la tangente à la courbe représentative de la fonction f(x).
On appelle dx et dy un petit accroissement de x et de y. y' est donc la limite de dy/dx lorsque dx tend vers 0.
On peut donc écrire y' = dy/dx = f'(x)
ou encore dy = f'(x) . dx ou encore dy = y' . dx

La distinction entre dy et delta y peut exister dans certains contextes, mais dans le cas présent, à mon avis ce n'est qu'une question de style.

[leon1789]

Salut,
dx et dy ne sont pas des réels. Ce sont des notations. Il faut plutôt considérer que c'est l'opérateur "" appliqué à la fonction y, où "" n'est que la notation pour "dérivation par rapport à x".

et ainsi "" n'est que la notation pour "dérivation de y par rapport à x".

Par ailleurs, désigne souvent une différence

[A voir en vidéo sur Futura]

[leon1789]

Je suis au chapitre concernant les dérivées et je pense avoir bien compris cette notion..le soucis est que pour l'explication de la notation de différentielle il y'a un terme dont la compréhension m'échappe :

a(h) = f'(x0) + e(h) ou lim h->0 de e(h) = 0

La tangente**a pour coefficient directeur f'(x0) et la secante à pour coefficient directeur f'(x0) + e(h)

Je ne vois pas d'ou vient le terme e(h)**...si quelqu'un pouvait m'éclaircir..

l'égalité a(h) = f'(x0) + e(h) où lim h->0 de e(h) = 0 est la traduction symbolique du fait que la pente d'une sécante (notée a(h) ) se rapproche de la pente de la tangente (noté f'(x0) ) quand h se rapproche de 0. La différence entre les deux pentes est justement e(h).

[Amanuensis]

Ce que dénote "dx" demande des notions avancées pour être défini rigoureusement ; en première approche il suffit de le comprendre comme une "variation infinitésimale", plus petite que n'importe quelle variation finie. ̀Δx dénote une variation finie, c'est juste une variable réelle, de valeur non précisée, 0.0001 par exemple ; ̀Δy - y'Δx est une valeur réelle, dépendant de la fonction, de x et de ̀Δx. Dans la notation de la limite avec "h", on peut remplacer "h" par l’écriture Δx, dans les deux cas cela dénote une variable réelle.

[doko25]

Merci à tous pour vos éléments de réponses je pense avoir saisi la chose...

[invite76543456789]

Bonjour,
Pour donner une interprétation simple de la differentielle qui ne fasse pas appel à des outils sophistiques j'aime bien donner la version suivante (qui est vraiment pas loin d'etre la bonne et qui est en tout cas mathématiquement correcte).

Il faut voir pour une fonction f, de R dans R disons, donnée, la differentielle de f, notée df, comme une fonction de DEUX variables, x et dx, définie comme df(x,dx)=f'(x)dx. Ainsi les variables x et dx, qui vivent toutes les deux dans R, sont independantes et on note en general simplement df(x) en omettant le dx.
On utilise souvant une approxiamtion du style f(x+dx)=f(x)+df(x,dx), cela se comprend de la manière suivante, à x fixé la fonction dx->f(x)+df(x,dx) =f(x)+f'(x)dx est une fonction affine (de dx, x étant fixé) et au point x c'est la fonction donc la courbe est la droite tangeant à la courbe de f en x.

En vrai l'objet df est un poil plus compliqué que ca, et dx aussi (c'est pas simplement une variable) mais c'est vraiment tres proche et ca permet de bien comprendre ce qu'est la differentelle je trouve.