Espaces vectoriels
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Espaces vectoriels



  1. #1
    Isis-mirka

    Espaces vectoriels


    ------

    Bonjour a tous,
    Je suis en train de faire des exos de maths et je rencontre un probleme.

    Soit:
    E1={(a,-a) /a appartient à R}
    E2={(a,a-1) /a appartient à R}
    E3={(x1,x2,x3) appartenant à R3 tel que x2=3x3}

    Je dois montrer que E1 est un sous-espace vectoriel de R2et que montrer que E2 n'en est pas un.
    Il faut préciser une base de E1, sa dimension et sob équation cartésienne.
    Dire si E3 est sous espace vectoriel de R3.

    Si je dis que E1 est stable pour l'addition et pour la multiplication est qu'il est non-nul, est-ce suffisant ?
    Pour préciser une base de E1, je ne vois pas trop par contre...

    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    PlaneteF

    Re : Espaces vectoriels

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par Isis-mirka Voir le message
    Si je dis que E1 est stable pour l'addition et pour la multiplication est qu'il est non-nul, est-ce suffisant ?
    non vide pas "non-nul"

    (Sinon petite précision : stable par multiplication par un scalaire)
    Dernière modification par PlaneteF ; 26/03/2013 à 18h51.

  3. #3
    Isis-mirka

    Re : Espaces vectoriels

    ok merci je vais essayer ainsi.

  4. #4
    Isis-mirka

    Re : Espaces vectoriels

    J'ai réussi à faire la premiere question mais je n'arrive pas a préciser une base de E1 (une base de E1 étant pour moi une famille libre et génératrice de E1).

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Espaces vectoriels

    Bonsoir.

    Dans un sous-espace vectoriel, il y a toujours le vecteur nul de l'espace vectoriel. Si une partie ne le contient pas, ce n'est pas un sev. Attention {(x,x²)/x réel} contient (0,0), mais n'est pas un sev de R².

    Cordialement.

  7. #6
    Isis-mirka

    Re : Espaces vectoriels

    donc pour E2, le vecteur nul n'appartenant pas a l'espace vectoriel, E2, n'est pas un s.e.v. de R2 ? (moi j'ai essayé de montrer qu'il n'y avait pas stabilité pour l'adddition)

    Pour la base de E1: je ne comprend pas tout car si je voulais une base de R2, il me faudrait deux vecteurs non-proportionnels. Or, je n'en ai pas ici. La base serait donc la droite vectorielle Vect(u) (de dimension 1 ?)
    avec u le vecteur de coordonnées (1,-1) ?
    corrigez-moi si je dis des bétises
    Dernière modification par Isis-mirka ; 26/03/2013 à 20h24.

  8. #7
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Espaces vectoriels

    Une base d'un espace vectoriel nul est vide (0 éléments). En dimension 1, c'est un vecteur non nul. Comme R² est de dimension 2, ses sous espaces vectoriels ont des base à 0 ({(0,0}), 1 ou 2 (R²) éléments. Tu n'as pas trop le choix donc ...
    Et trouver une partie génératrice de E1 la plus petite possible est assez évident, non ?

    La base serait donc la droite vectorielle Vect(u)
    Tu devrais réétudier tes cours pour bien comprendre libre/générateur/base/dimension. Si tu ne connais pas le cours sur le bout des doigts, tu vas patauger dans la choucroute.

    Le pire, c'est que tu as trouvé sans t'en rendre compte !!!

  9. #8
    Isis-mirka

    Re : Espaces vectoriels

    Le problème c'est que je n'ai pas mon cours sur moi, du coup, c'est un peu compliqué mais comme le prof a parlé de droites vectorielles, j'y ai pensé !
    Pour la question "Dire si E3 est sous espace vectoriel de R3", j'ai trouvé que non car j'ai trouvé que la stabilité pour la multiplication n'était pas vérifiée, est-ce correct ? (car j'ai peur me m’être trompé dans la démo).

  10. #9
    PlaneteF

    Re : Espaces vectoriels

    Citation Envoyé par Isis-mirka Voir le message
    Pour la question "Dire si E3 est sous espace vectoriel de R3", j'ai trouvé que non car j'ai trouvé que la stabilité pour la multiplication n'était pas vérifiée, est-ce correct ?
    Non ce n'est pas correct.
    Dernière modification par PlaneteF ; 26/03/2013 à 21h49.

  11. #10
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Espaces vectoriels

    Si x2=3x3, alors kx2=3(kx3).
    Pas de problème ici.

  12. #11
    Isis-mirka

    Re : Espaces vectoriels

    J'ai trouvé c’est bon! j'avais oublié un 3 quelque part...
    merci d'avoir confirmé que c'était faux.
    J'ai encore une petite question:
    pour trouver l'équation cartésienne de la base E1 (droite vectorielle: vect(u) avec u(1,-1)), il faut trouver l'équation de le droite ayant pour vecteur directeur u ? ; c'est-a-dire: y=-x ?

    Merci beaucoup

  13. #12
    PlaneteF

    Re : Espaces vectoriels

    Citation Envoyé par Isis-mirka Voir le message
    pour trouver l'équation cartésienne de la base E1 (droite vectorielle: vect(u) avec u(1,-1))
    Attention, une droite vectorielle n'est pas une base, il s'agit de 2 choses de nature différente : Une droite vectorielle est un sous-espace vectoriel, une base est une famille de vecteurs.


    Citation Envoyé par Isis-mirka Voir le message
    y=-x
    Dans un espace de dimension 3, c'est l'équation d'un plan, pas d'une droite !
    Dernière modification par PlaneteF ; 26/03/2013 à 22h17.

  14. #13
    Isis-mirka

    Re : Espaces vectoriels

    La base de E1 à préciser n'est donc pas la droite vectorielle vect(u) ? que dois-je répondre a la question du coup ?
    (Désolé si je m'embrouille mais comme c'est la première fois que je fais ce genre de choses, c'est un peu difficile ..)

    Merci

  15. #14
    PlaneteF

    Re : Espaces vectoriels

    Citation Envoyé par Isis-mirka Voir le message
    La base de E1 à préciser n'est donc pas la droite vectorielle vect(u) ?
    Mais la droite vectorielle Vect(u) c'est E1 lui-même, ce n'est pas une de ses bases !


    Citation Envoyé par Isis-mirka Voir le message
    que dois-je répondre a la question du coup ?
    Une base d'une droite vectorielle est formée d'un vecteur non nul, donc ...
    Dernière modification par PlaneteF ; 26/03/2013 à 22h33.

  16. #15
    Isis-mirka

    Re : Espaces vectoriels

    ok , Vect(u) : c'est E1 , ça s'éclaircit !
    Mais pour la base d'une droite vectorielle, si je prend le vecteur v(2,-2), v étant proportionnel a u, on a une base ?

    Merci

  17. #16
    PlaneteF

    Re : Espaces vectoriels

    Citation Envoyé par Isis-mirka Voir le message
    Mais pour la base d'une droite vectorielle, si je prend le vecteur v(2,-2), v étant proportionnel a u, on a une base ?
    Oui en prenant , ... oui en prenant aussi ...
    Dernière modification par PlaneteF ; 26/03/2013 à 22h48.

  18. #17
    Isis-mirka

    Re : Espaces vectoriels

    ok merci, je crois que j'ai compris cette fois.
    Merci beaucoup pour votre aide à tous les deux!!
    (tant que vous y êtes, est-ce que vous pourriez regarder le sujet "suites" qui traite en réalité d'un système a deux inconnues, ça m'aiderait beaucoup car gg0 est déconnecté malheureusement...)

    Merci
    Dernière modification par Isis-mirka ; 26/03/2013 à 22h57.

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