Démo: conjugué d'une racine cubique d'un complexe = le carré de celui-ci
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Démo: conjugué d'une racine cubique d'un complexe = le carré de celui-ci



  1. #1
    levraidd

    Démo: conjugué d'une racine cubique d'un complexe = le carré de celui-ci


    ------

    Bonjour,

    Voici une petite démo à réaliser pour laquelle je cherche une méthode propre.

    Si w désigne une racine cubique complexe de 1, comment montrer que son conjugué = w²?

    Je l'ai fais en calculant le conjugué de chaque racine cubique de 1 et leur carré pour montrer l'équivalence.
    Mais apparemment, cette méthode n'est pas digne d'une démonstration. Pourriez-vous m'aider quant à la manière de procéder pour démontrer cela?

    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    Seirios

    Re : Démo: conjugué d'une racine cubique d'un complexe = le carré de celui-ci

    Bonjour,

    Ce que tu as fait semble correct, mais pour une preuve peut-être un peu plus courte, tu peux remarquer qu'il y a trois racines cubiques de l'unité : une réelle et deux purement complexes ; puis que si w est une telle racine, alors w² et également. Comme w=w² équivaut à w=0 ou 1, et équivaut à w réel, tu en déduis ta propriété.

    En fait, cela revient à comparer les actions du carré et de la conjugaison sur les racines cubiques.
    Dernière modification par Seirios ; 05/04/2013 à 14h00.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  3. #3
    Seirios

    Re : Démo: conjugué d'une racine cubique d'un complexe = le carré de celui-ci

    Encore plus simple : puisque est de module 1.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #4
    levraidd

    Re : Démo: conjugué d'une racine cubique d'un complexe = le carré de celui-ci

    Merci à toi!

    Sympa la 2ème méthode

    Bonne fin de journée

  5. A voir en vidéo sur Futura

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