Surface projeté d'un volume (avec un angle donné)

[herman]

Bonjour,

Je n'arrive pas à trouver comment on calcule de façon générale une surface projetée d'un volume...

Exemple, pour un cylindre :

surface = rhsin(theta) + r² cos(theta)

Comment généralise-t-on ce calcul ?

Merci d'avance.
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[Dlzlogic]

Bonjour,
En fait, je ne comprends pas très bien la question. Est-ce que vous souhaitez visualiser un volume, c'est à dire une objet 3D sur une surface plane, comme par exemple pour des vues en perspectives, ou s'agit-il d'autre-chose ?

[herman]

Bonjour,

Oui la surface visible depuis un point extérieur.
Exemple pour le cylindre, si on le regarde sous sa base, on observe un disque (donc Pi*r^2) et si on le regarde de coté, on observe un rectangle (h*r). Je n'arrive pas à trouver le raisonnement pour obtenir cette surface visible depuis n'importe quel point de vu et avec n'importe quel volume...

Merci d'avance.

[Dlzlogic]

Je pense qu'il faudrait préciser certaines choses.
Pour vous, quelle est la définition d'une surface, soit l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient une certaine équation, ou le lieu géométrique de ces dits points ? Cette distinction me parait beaucoup plus importante qu'une simple question de terme.

Vous parlez d'un cylindre, c'est tout de même un volume très particulier. Si vous le regardez depuis un point quelconque appartenant à l'axe de symétrie, vous voyez effectivement un disque, mais dans le cas général, vous voyez une ellipse, plus quelque-chose.

Ce que vous appelez un volume, c'est une définition d'un objet géométrique en 3D et répertorié, ou ça pourrait être un arbre, ou je ne sais quoi d'autre ?
Il vaudrait mieux que vous expliquez l'origine de votre question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[herman]

Je veux évaluer la surface d'interaction d'une particule avec un volume. Si la particule vient sous le cylindre (donc depuis la base), la surface d'interaction sera un disque. Je veux pouvoir calculer cette surface en fonction de l'angle azimutal. Je connais déjà l'équation :

Je vois bien que une sorte de moyenne pondérée entre la surface d'un rectangle et d'un disque mais ça c'est avec les mains, je me demande comment on retrouve l'équation (et tant qu'à faire pour tous les volumes).

[Dlzlogic]

Ce me fait penser à l'éclairement d'une surface par le soleil. Ce serait quelque-chose de ce genre ?

[herman]

Je ne peux pas vraiment être plus précis que ça...
Si au lieu d'un cylindre on prend une sphère, alors on voit un disque, peu importe l'angle d'observation. Je veux retrouver comment obtenir la surface observée.

[Tryss]

Il suffit de calculer le projeté orthogonal des points de ton solide S pour obtenir la projection, puis ensuite on peut essayer d'en calculer le volume.


Pour calculer la projection orthogonale d'un point x dans la direction :

On calcule le projeté de x, noté sur la droite F engendrée par h :



Et alors le projeté de x sur le plan orthogonal à F est simplement




Donc le projeté de S dans la direction h est l'ensemble :

[herman]

Dans le cas de mon cylindre tu peux me montrer comment tu fais ? Parce que ce que tu m'expliques me semble clair mais ça ne me permet pas d'obtenir l'équation que j'ai mon post plus haut.

[Tryss]

Dans le cas d'un cylindre, comme la forme est simple, on fait autrement ^^

On voit facilement que c'est la projection juste d'un rectangle et de deux demi-disques, dont l'aire des projections sont faciles à calculer

[herman]

Donc en fait depuis hier je cherche quelque chose qui n'existerait pas ? C'est-à-dire qu'on établit l'équation "avec les mains" ? Ca expliquerait pourquoi je buttais sur le fait de vouloir trouver une démarche générale...

[ansset]

je precise le mot orthogonal.
chaque point est projeté dans une seule direction et on intersecte avec ce plan orthogonal au vecteur.
celà s'écrit assez simplement.
c'est justement cette direction choisie qui permet ensuite de parler de "points de vue" différents.

je me mets dans le cas d'une vision à l'infini.
sinon on projete sur le point de vision ( et non ds une seule direction ) et on prend tj l'intection avec le plan.

[ansset]

dans ce dernier cas, il faut choisir un plan , un peu comme choisir un angle de vision depuis un point de vision.
( appareil photo : il y a l'endroit ou tu es et ce que tu vises )

[Tryss]

Donc en fait depuis hier je cherche quelque chose qui n'existerait pas ? C'est-à-dire qu'on établit l'équation "avec les mains" ? Ca expliquerait pourquoi je buttais sur le fait de vouloir trouver une démarche générale...

On peut trouver une démarche générale, mais elle serra plus compliquée qu'une démarche adaptée au problème simple.

Dans le cas du cylindre, il y a tout un tas de symétries et de propriétés qui fait qu'il serrait "idiot" d'utiliser une méthode générale (qui devra marcher pour des objets beaucoup plus compliqués)

[Dlzlogic]

Je relie cette question à celle d'un niveau bien moindre (visualisation sur une calculette) vue dernièrement.
Je n'ai toujours pas compris le but. Les objets concernés sont-ils toujours des formes géométriques cataloguées ? Le recherche concerne-t-elle la généralisation d'un problème bien connu pour n'importe quel objet décomposé en facettes, à tout objet que l'on pourrait mettre sous forme d'une équation? Bref, on sait pas trop.

[herman]

Il n'y a rien à savoir. J'en avais besoin pour un cylindre (mais j'avais déjà l'équation), et je me suis simplement demandé par curiosité si les mathématiques proposaient une généralisation à ce problème (au même titre que la dérivée d'un volume donne la surface par exemple).

[Tryss]

Il n'y a rien à savoir. J'en avais besoin pour un cylindre (mais j'avais déjà l'équation), et je me suis simplement demandé par curiosité si les mathématiques proposaient une généralisation à ce problème (au même titre que la dérivée d'un volume donne la surface par exemple).

Une réponse "abstraite" : La surface projetée par le solide S dans la direction h est donnée par




Il va sans dire que ça n'est pas forcément évident à calculer.


Notons que l'on peut aussi se contenter de la projection du bord de S.

[ansset]

Il va sans dire que ça n'est pas forcément évident à calculer.
.

bjr Tryss,
j'ose une correction.
les espaces 3D ( 3 dimensions ) sont facilement modélisés en images de synthèse.
on en tire depuis 20 ans ou + des images virtuelles qui sont bien des "points de vue" de la part de n'importe quel observateur.
la preuve concrète est la facilité avec laquelle on fabrique du cinéma d'animation aujourd'hui.
et avec deux prises de vue proches, on y ajoute le relief.

la seule difficulté vient du point de départ, à savoir le modèle dont on dispose pour son volume 3D.
si on peut en faire une description en polygones ou mieux en nurbs, alors il n'y a aucun soucis.
tous les soft de synthèse ne font que celà.