fonctions jamais continues ???

[aze555666]

Bonjour.
L'an dernier (en terminale), ma prof de math m'a dit (suite à je ne sais plus quelle remarque de ma part), qu'il existe des fonctions qui ne sont jamais continues, faites en quelques sortes de points complêtement disparates.
Mais j'ai beau avoir rêfléchi, je ne vois pas comment faire ça en composant les fonctions que je connais. Y-a-t-il autre chose??? comment est-ce possible?

Bon c'est vrai que je poste un peu tard , mais après tout les fonctions en question n'ont pas disparu depuis, je pense.

[GuYem]

Salut. Ca existe bien mais c'est plutôt dur à appréhender.
Si tu connais Q, l'ensemble des rationnels, alors la fonction qui a x associe 1 si x est dans Q et 0 sinon est nulle part continue.

[Superdumas]

Et ça s'appelle la fonction caractéristique des rationnels. (et c'est assez pratique comme fonction)

[aze555666]

ah oui, c'est pas bête ça. Ca doit venir du fait que Q est dense dans R. je n'avait pas pensé aux fonctions définies par cas.
Merci de vos réponses.

[matthias]

Ca doit venir du fait que Q est dense dans R.

Oui mais ce n'est pas suffisant. R est dense dans R et la fonction caractéristique de R est continue. Avec Q dense dans R et le complémentaire de Q dense dans R, là oui, tu peux en déduire que la fonction n'est continue nulle part.
Je pense que tu avais bien compris, mais ça ne fait pas de mal de bien préciser les choses

[aze555666]

Oui, pas de problemes . Evidemment qu'il faut que le complémentaire soir dense dans R aussi. Mais ce n'est pas du luxe une pitite précision.

[Stibium]

Mentionnons, pendant qu'on y est, qu'il y a aussi des trucs encore plus difficiles à imaginer, comme des fonctions qui sont continues partout mais dérivables nulle part (par exemple la fonction de Van der Waerden)!

[rvz]

Et des fonctions continues, dérivables presque partout, à dérivée nulle presque partout, et telles que f(0)=0,
f(1)=1...

__
rvz, pour le monde fascinant des bizarreries

[space-kro]

Franchement ça m'interreserait vraiment de voir cet exemple, tu crois que tu pourrais me l'expliquer ou au pire m'envoyer vers un lien.

merci.

ps : quand tu dit presque partout, c'est ça dire que l'on a la propriété vraie sauf pour un ensemble de mesure nulle ?

[Quinto]

quand tu dit presque partout, c'est ça dire que l'on a la propriété vraie sauf pour un ensemble de mesure nulle ?

Sauf peut être, sur un espace de mesure nulle.

Le problème de ces fonctions, est qu'elles ne sont pas limites simples de fonctions continues.

[matthias]

Sauf peut être, sur un espace de mesure nulle.

J'ai du mal à comprendre cette remarque. Une explication ?
Pour moi presque partout signifie "sauf sur un ensemble négligeable", ce qui n'est forcément équivalent à "sauf sur un ensemble de mesure nulle", bien que l'on puisse compléter une mesure de manière à ce que les ensembles négligeables soient mesurables.
Mais comme moi et les mesures ça fait 2, si tu pouvais expliquer ta remarque Quinto ...

[Quinto]

Je pense que tu as tout dit Matthias.
A+

[rvz]

Si tu veux une fonction continue nulle part dérivable, je l'ai fait dans un cours que j'ai rédigé (p.24), que tu peux trouver sur
http://www.eleves.ens.fr/home/ervedoza/inde/Cours.pdf

Je ne comprends pas non plus l'affirmation de Quinto : Pourquoi ça ne pourrait pas être limite simple de fonctions continues ?!

Enfin, si tu veux une fonction continue partout, de dérivée presque partout nulle, et qui, pourtant, est croissante, tu peux aller voir sur http://www.mathcurve.com/fractals/es...dudiable.shtml
ou tout autre site qui parle d'escalier du diable.
De plus, n'en déplaise à Quinto, elle est limite simple de fonctions continues

__
rvz

[Romain-des-Bois]

Vous avez dit : Q est dense dans R : même si je vois à peu près ce que ça veut dire, quelle est la définition véritable de la densité ?

[Coincoin]

Ca veut dire qu'entre deux réels, il existe toujours un rationnel.