Suite indicé par une partie entière

[ShinichiKudo]

Bonjour,

Je travaille un peu les maths pour ma rentrée en sup' et je suis tombé sur un exo qui m'a posé problème. Je vous donne l'énoncé et les pistes que j'ai suivi avec les raisonnements. Je pense que mon raisonnement est bon, mais il me manque quelque chose dans le puzzle. Si vous pensez que celui-ci ne pourra pas mener à la réponse, je veux bien des idées dans ce cas-là ^^

Je vous donne mon raisonnement pour la question a) (parce que je pense que la b) nécessite le résultat de la a))

a) On raisonne par recurrence :

Initialisation : d'où on a bien

La propriété Pn est bien vraie au rang n=0

Hérédité : On suppose Pn vraie pour tout n entier naturel

On a donc, quelque soit n,

Mais,

Mais,

la partie entière d'un réel positif est un entier naturel

(tout se base sur ça, donc j'espere que c'est vrai). Donc, comme on a supposé l'hypothése de recurrence vraie, on peut écrire que :





En sommant les termes via les 3 inégalités, on a :



Et là, il faut majorer pas quelque chose de plus grand que n+2, pour arriver au bon résultat. On sait que :



d'où, en reprenant l'inégalité précédente on a :



Enfin :



Et on a pas n+2 comme il le faudrait... Cet exercice est noté "très difficile", donc je pense qu'il me manque quelquechose, une relation de cours, une inégalité ou une astuce qui peut aider que je n'ai pas.

Si ya des pistes pour résoudre cette question, je suis preneur !

Merci de votre aide !
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[Tryss]

Il faut majorer plus finement :







Et grace à l'hypothèse de récurrence, on obtient :

[NicoEnac]

Bonjour,

Ton raisonnement est correct, cependant ne confonds pas strictement supérieur avec supérieur ou égal, tu vas voir que cela a son importance.

Arrivé ici, c'est correct. Mais n'oublie pas que U_n est entier et si un entier est strictement supérieur à un autre, à quoi est-il supérieur ou égal ?

[ShinichiKudo]

Bonjour,

Ton raisonnement est correct, cependant ne confonds pas strictement supérieur avec supérieur ou égal, tu vas voir que cela a son importance.

Arrivé ici, c'est correct. Mais n'oublie pas que U_n est entier et si un entier est strictement supérieur à un autre, à quoi est-il supérieur ou égal ?

oui, toute la démonstration se fait avec supérieur ou égal donc à la fin on a

Un+1 ≥ n+1

Donc ça ne marche pas, même si on dit que Un+1 est un entier on peut pas conclure au n+2 qu'il faudrait avoir à la fin. Mon raisonnement est correct mais il est incapable de prouver ce qu'on veut prouver... Dommage, je trouvais que c'était bien penser sur le coup ^^

@Tryss : peut-tu expliquer ces majorations ? Je vois pas comment ça peut venir de manière logique. Sinon j'ai très bien compris comment avec cela, on prouve ce que l'on a démontré.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ShinichiKudo]

Ah non, je viens de voir mon erreur...

En effet j'ai confondu supérieur et supérieur ou égal... Le passage au supérieur strictement se fait sur la dernière étape, avec l'inégalité de la partie entière tout à la fin. (E(X)+1>X)

L'inégalité passe au stricte, donc on a bien :

Un+1 > n+1

Or Un+1, comme tu me l'a dit, est un entier (et même naturel mais il faudrait le montrer rigoureusement mais c'est évident pour moi)

D'où, puisque Un+1 prend des valeurs entières on a Un+1 ≥ n+2

Je me disais bien que ça pouvait mener à quelque chose ma démonstration ! Merci à vous j'ai réussi à me corriger !

Merci à vous, je cherche pour la b) et je viendrai poster ma réponse avec ma démonstration pour avoir vos avis

[ShinichiKudo]

Bon, j'ai attaqué la question b)

b) Toujours avec la même suite , on veut trouver tel que :



Je rappelle qu'on a prouvé que pour tout n entier naturel.

Je pars sur un simple raisonnement avec les inégalités, c'est le plus approprié à mon avis. Mais, pour moi la question est mal posé, puisqu'elle sous-entend que C est unique, mais en fait il en existe une infinité (je crois, vous me direz ce que vous en pensez)

D'abord :


(on suppose que C existe bien, je sais pas si j'ai le droit de faire ça)

Cela revient à :

En utilisant ceci : pour n entier naturel, on a et puisque la partie entière d'un réel positif est un entier naturel, on peut appliquer ceci et dire que :



Et là, je réutilise ceci :

Donc :

Ainsi :

mais n est un entier naturel, donc :

Mais là on a une contradiction, puisque cela veut dire que mais on a dit que pour C = 1 on avait soit le contraire de ce que l'on veut montrer... La réponse est sans doute mais je ne trouve pas mon erreur...J'ai bien fais gaffe aux inégalités, et là ça plante... Je dois pas être très loin non plus de la réponse...

Une idée ?

[taladris]

Sauf erreur,

ce qui bloque pour resoudre le b) par induction (forte), c'est le +1. Considere la question a bis: "Trouver D>0 tel que pour tout n". Celle-ci est plus simple je crois. Mais a bis implique facilement b.

Cordialement

[NicoEnac]

Je rappelle qu'on a prouvé que pour tout n entier naturel.
....
En utilisant ceci : pour n entier naturel, on a

Attention ! Tu t'es trompé de sens dans ta deuxième inéquation !

Je pars sur un simple raisonnement avec les inégalités, c'est le plus approprié à mon avis. Mais, pour moi la question est mal posé, puisqu'elle sous-entend que C est unique, mais en fait il en existe une infinité (je crois, vous me direz ce que vous en pensez)

Je ne pense pas qu'on indique que C est unique. On te demande d'en énoncer un (ou carrément son domaine de validité) et de prouver qu'il vérifie bien la propriété de l'énoncé.

[NicoEnac]

Petite idée (je ne l'ai pas développée, je ne sais pas si elle donnera des résultats) :
Poser C_n la suite définie par U_n/(n+1) et vérifier qu'elle admet une borne supérieure. Tu auras la limite basse du C cherché.

[ShinichiKudo]

Petite idée (je ne l'ai pas développée, je ne sais pas si elle donnera des résultats) :
Poser C_n la suite définie par U_n/(n+1) et vérifier qu'elle admet une borne supérieure. Tu auras la limite basse du C cherché.

Oui, je vais partir sur ça, ça à l'air intéressent comme idée.

@NicoEnac : oops, oui c'est une erreur, je vais donc reprendre mon raisonnement en corrigeant ceci.

En repartant sur ça :

Comme C est strictement positif, il est naturel d'écrire que :

Puis, on reprend ce que j'ai fait précédemment :



Mais non, en fait ça sert strictement à rien ce que je fait là... Ton idée est bien meilleur et plus efficace NicoEnac :


en divisant par n+1 qui est strictement positif (pas de changement sur l'inégalité) :

d'où, magiquement, on a

Donc tout réel C>1 vérifie bien l'inégalité

Exercice résolu il me semble, merci à tous ^^

[thepasboss]

Bonsoir,

tu n'as rien résolu là, et c'est faux d'ailleurs. Vérifie avec u1.

[ShinichiKudo]

Ah, c'est donc faux alors ? Verifions avec U1 alors. Je prends C=2 par exemple :

On a U1 = 3 et C(n+1)= 4

On a U1>C(n+1)

et c'est donc bien faux oui...

Ou est mon erreur alors ?

[Hamb]

Bonsoir,

Ton erreur est que tu as prouvé que si il existe tel que , alors on doit avoir .
Cependant, tu n'as en aucun cas prouvé que si , alors on a

[ShinichiKudo]

Bonsoir,

Ton erreur est que tu as prouvé que si il existe tel que , alors on doit avoir .
Cependant, tu n'as en aucun cas prouvé que si , alors on a

Ok, donc j'ai pas montré grand chose en effet ^^

Mais je me disais que en prenant un C quelconque (100 au hasard par exemple) on pourrait très bien répondre à la question. On nous demande pas de trouver tout les C, ni même "le plus petit C>0 tel que"... Mais dans ce cas là ça devient trop simple du coup...
Mieux vaut répondre à "trouver tout les C>0 tel que Un>C(n+1)"
Vu que ma démonstration ne montre rien du tout, je vois pas sur quoi partir...


ça reste vrai dans tout les cas... Mais après ???

[Hamb]

Puisque c'est si simple d'exhiber un quelconque qui répond à la question, pourquoi n'en exhibes-tu pas un avant de chercher à les trouver tous ?
Personnellement, j'estime qu'en trouver un ou les trouver tous est à peu près du même ordre de difficulté.

Tu t'obstines à vouloir utiliser la question précédente. As-tu une bonne raison pour cela à part le fait qu'on t'ait posé les questions dans cet ordre là ?
La suite étant définie par une récurrence, toute l'information à ta disposition est contenue dans cette récurrence. Je te conseille d'essayer de l'utiliser pour arriver à tes fins, c'est la façon la plus naturelle de procéder à mon sens.

Une façon d'aborder le problème par exemple, c'est d'essayer de majorer , peut-être que la constante s'imposera alors d'elle-même !

[ShinichiKudo]

Majorer Un est l'ideal oui mais c'est assez difficile de le faire. La suite diverge et on a pas beaucoup d'info sur une autre ecriture de Un. Donc faut revenir sur sa definition qui est donné par recurrence en effet.

Mais si on majore Un c'est forcement avec une expression contenant n à mon avis.

Mais je vois pas par quoi...

Mais en fait le plus interressent dans cette question c'est de trouver le plus petit C tel que Un<C(n+1) a mon avis.

[Hamb]

Un indice : imagine que tu as déjà trouvé une constante qui doit marcher, et que tu veux prouver qu'elle marche par récurrence. Tu peux commencer à écrire la démonstration, et voir quelle condition doit vérifier pour que tu puisses mener ta preuve jusqu'au bout.

C'est une sorte d'analyse-synthèse si tu préfères.

[taladris]

Mais en fait le plus interressent dans cette question c'est de trouver le plus petit C tel que Un<C(n+1) a mon avis.

Salut,

il n'est pas certains qu'a priori un tel plus petit C existe. Ce que tu peux chercher est la borne inferieure de l'ensemble des C tels que, pour tout n, Un<C(n+1) (qui existe necessairement).

Cordialement

[ShinichiKudo]

Oui on doit trouver une borne inferieur en fait.

Ben j'ai essayé avec C=100. Mais impossible de conclure ma recurrence, j'ai même l'impression que c'est pas possible... Rien pour majorer en fait...

J'arrive à ceci sur ma preuve : Un+1<= 100([n+1/2] + [n+1/3] + [n+1/6] + 3)

Et il faut Un+1<= 100(n+1)

Desespéré là

[Hamb]

Comment arrives-tu à ton inégalité et que signifient les crochets dans ton expression ?

Ensuite, tu devrais raisonner avec un C indéterminé pour commencer, puisqu'à priori il n'y a pas de raison pour que la valeur particulière C = 100 convienne. (Je sais que tu as dit que tu pensais que ça devrait marcher avec C = 100, mais je ne vois pas d'argument étayant cela). Un C répondant à la question pourrait a priori être très grand, et même ne pas exister du tout.

[ShinichiKudo]

les crochets étaient pour les parties entières

Donc si on raisonne avec un C quelconque, et qu'on part sur une récurrence ça bloque sur ça du coup :

[Hamb]

Je ne comprends pas comment tu te retrouves avec cette inégalité. Récapitulons. Tu imagines que tu veux prouver pour un certain restant à déterminer :

En raisonnant par récurrence, on suppose que cette propriété est vraie pour tout pour un certain fixé.

Qu'obtiens-tu lorsque tu appliques l'hypothèse de récurrence à , , et ?

Peux-tu en déduire une majoration de en fonction de , , et en utilisant la définition par récurrence de la suite ?

Si tu arrives à cela, connais-tu une majoration de en fonction de ?

Peux-tu conclure ?

[ShinichiKudo]

On suppose que pour tout n, il existe C>0 tel que :

La partie entière qu'un réel positif est un entier naturel donc :

[ShinichiKudo]

Bon je recommence :

Avec l'hypothese de recurrence on a







En sommant :

Et là je bloque. Comment majorer ce truc avec les parties entières ? Et puis la fameuse condition sur C elle va apparaître où ?

[Hamb]

pardon, j'ai été confus par l'absence de parenthèses dans ton expression. Attention, on ne suppose pas que pour tout n on a l'inégalité, seulement pour k<n avec n fixé, et ensuite on veut prouver qu'elle est vraie pour n par récurrence. (ou bien pour tout k<n+1 et on veut le prouver pour n+1 par récurrence si tu préfères, ce qui correspond mieux à ce que tu as l'air de vouloir faire). Donc je suis d'accord avec l'inégalité que ta as donnée, cela répond à la première question de mon message précédent. tu peux donc continuer en lisant la ligne du dessous.

La fonction partie entière vérifie des inégalités bien connues de par sa définition même, les connais-tu ? Si tu ne les connais pas, peut-être peux tu les deviner (en étudiant la définition).

PS : en général les produits et divisions sont prioritaires par convention lorsqu'on utilise pas de parenthèses. Il faut donc écrire (n+1)/2 si on ne souhaite pas qu'il y ait d'ambiguité avec n+(1/2)

[ShinichiKudo]

Non, je connais pas ces inégalités sur la fonction partie entière, enfin pas toutes.

Voici celle que je connais pour l'instant :






et celle là j'en suis pas sûr, je l'ai "deviné" mais elle surement fausse:

[Jedoniuor]

Bonsoir,

Voici une idée à vérifier:

Soit C>0 une constante telle que


pour . (On a donc laissé tomber l'indice 0).

Si, pour un n>=5, on suppose que pour tout k, , on a , alors pour n+1 il vient:



Ceci parce les nombres sont tous >=1 (et plus petits que n).

Donc l'inégalité U_k\leq Ck va \^etre vraie pour tout k>=1.

Cordialement.

[Hamb]

Non, je connais pas ces inégalités sur la fonction partie entière, enfin pas toutes.

Voici celle que je connais pour l'instant :






et celle là j'en suis pas sûr, je l'ai "deviné" mais elle surement fausse:

Tu devrais avoir le réflexe de te renseigner sur la définition des objets que tu manipules. Par exemple, une recherche rapide sur wikipedia te donnera toutes les informations dont tu as besoin sur la fonction partie entière, qui combinées avec mes indications et celles des autres personnes devrait te permettre d'arriver à tes fins.

Bon courage.

PS : pour l'inégalité que tu as devinée, tu peux essayer de déterminer par toi-même si elle est vraie ou fausse, c'est un bon exercice !

[ShinichiKudo]

Merci pour le lien, je devrais trouver ce qui me faut dans cette page.

Je posterais la démonstration le plus dès que possible.