Resoudre Equation diff. non linéaire 1er ordre

fmath · 20/01/2006 - 08h54

Dans le plan espace/vitesse, j'ai une courbe
f(x) = A.v^2 + Bv+ C qui décrit une parabole de freinage depuis une vitesse V0 jusqu'a la vitesse V=0.

V
^
|
V0...x
|............x
|...................x
|........................x
|...........................x
|............................. x
|............................. ..x
|____________________x________ __> x
0

Mon Probleme:

Calculer le temps t entre le début du freinage
(V0) et l'arrêt (à vitesse nulle, V=0)
sachant que v=dx/dt.

rvz · 20/01/2006 - 09h36

Je pense qu'il faut avoir recours à des calculs "à la physicienne" :
dt = dx / v
x = g(v) = A* v^2 + B *v + C
donc
dt = g'(v)/v dv
Donc quand on intégre entre l'état initial et l'état final, on trouve
$T = \int_{v_0}^0 g'(v)/v dv$
Ici , g'(v) = 2*A*v + B
Donc l'intégrale est plutot facile à calculer. Seul petit problème : Ca diverge en 0 !!

Peut-être qu'avec ce modèle, on freine en temps infini ?
Sinon, j'ai peut-être tout simplement craqué

__
rvz, peut-être devrais-tu poster ça chez les physiciens...

Nox · 20/01/2006 - 16h50

Envoyé par fmath

Dans le plan espace/vitesse, j'ai une courbe
f(x) = A.v^2 + Bv+ C qui décrit une parabole de freinage depuis une vitesse V0 jusqu'a la vitesse V=0.

V
^
|
V0...x
|............x
|...................x
|........................x
|...........................x
|............................. x
|............................. ..x
|____________________x________ __> x
0

Mon Probleme:

Calculer le temps t entre le début du freinage
(V0) et l'arrêt (à vitesse nulle, V=0)
sachant que v=dx/dt.

Bonsoir,
j'ai une question .. tu nous dis que f(x) = av²+bv+c Mais a ce mopment la c'est plus f(x) mais f(v) . Donc je ne vois pas vraiment l'énoncé ...

rvz · 20/01/2006 - 17h23

Allez, je retente

Essentiellement
$\frac{dx}{dt} = v = g(x) = a \sqrt{x} + b$
cf la résolution de f(v)=x, v > 0. En regardant vite fait, il me semble que b est la vitesse initiale, et a est tel que
$a \sqrt{x_0} = -v_0$
On en déduit que
$dt = \frac{dx}{v(x)}$ , et c'est là qu'était mon erreur, enfin je crois

...
Du coup
$T = \int_{0}^{x_0} dx /g(x)$ , et ça, c'est bien intégrable !!!!!
Oups ! Non, cette fois-ci je craque

!
Ca ne marche toujours pas, le temps est infini. Je vais finir par croire que le temps de freinage est infini, tu sais ...

__
rvz

gillesh38 · 20/01/2006 - 17h49

Envoyé par Nox

Bonsoir,
j'ai une question .. tu nous dis que f(x) = av²+bv+c Mais a ce mopment la c'est plus f(x) mais f(v) . Donc je ne vois pas vraiment l'énoncé ...

Moi non plus..... tu veux dire que c'est x = av²+bv+c ?

gillesh38 · 20/01/2006 - 17h53

si c'est ça, alors $dx = 2a v dv + b dv$
donc $v = dx/dt = (2 a v + b)dv/dt$
d'où $dt = (2 a +b/v) dv$ à intégrer entre 0 et t0 d'une part, v0 et 0 d'autre part... euh effectivement y a une divergence logarithmique !