Propriété distribution Dirac

[coussin]

Bonjour
Soit une distribution de Dirac . On sait que .

Peut-on dire quelque chose de la quantité ? En particulier, peut-on dire que ça vaut 1 ?

Merci d'avance
-----

[albanxiii]

Bonjour,

Ca me semble douteux...

,

mais si on pose

avec le développement de Taylor de en , dont l'intégrale entre les bornes indiquées tend vers quand , il reste au premier ordre en :

qui tend vers quand .

Je suis moins fatigué qu'hier, j'espère ne pas avoir écrit une énormité du même genre que sur la quantité de mouvement....

Si le cœur vous en dit, vous pouvez aussi essayer de voir ce que ça donne en utilisant une des représentations de la distribution de Dirac ( http://fr.wikipedia.org/wiki/Distrib...utres_exemples ).

@+

[Tryss]

Le "problème", c'est que la notation

n'a pas de sens bien défini (le dirac n'étant pas une fonction d'une variable réelle).


Maintenant, le support de étant {0}, pour toute fonction C-infini qui vaut 1 sur , et 0 en dehors de , alors



La distribution de Dirac ne voit que ce qu'il se passe en 0.


Donc, oui, en quelque sorte, on peut dire ça (même si c'est une notation absolument trop floue)

[albanxiii]

Re,

Ce que j'ai écrit est faux....

On a une valeur non nulle si on prend sur et ailleurs et qu'on fait tendre vers ensuite, mais il n'y a a priori aucune raison que la définition de ait un quelconque point commun avec les bornes de l'intégrale.

Si on prend avec on obtiendra des résultats différents lorsque et selon l'ordre dans lequel on prend les limites.

Par curiosité, si ça n'est pas indiscret, vous tombez sur cette intégrale dans quel situation ?

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

Si on prend avec on obtiendra des résultats différents lorsque et selon l'ordre dans lequel on prend les limites.

C'est la situation que je rencontre : non-commutativité de deux limites.

[Amanuensis]

Le "problème", c'est que la notation

n'a pas de sens bien défini (le dirac n'étant pas une fonction d'une variable réelle).

Cela rappelle un peu la discussion sur delta fois Heaviside...

Si on accepte que la question est de donner un sens à avec l'indicatrice de {0}, ne peut-on poser comme principe que

si, pour toute suite de fonctions test convergeant (selon une topologie à préciser) vers , converge vers une valeur unique x, alors est définie et vaut x

?

(Cela ne fait que généraliser votre proposition, en enlevant le côté arbitraire du choix d'une suite particulière. La conclusion est la même.)

[coussin]

Plus précisément : soit .
Puis-je dire que

et

?
Merci

[gg0]

Bonjour.

"Puis-je dire.." Tu peux toujours le dire.
Mais pour savoir si c'est vrai ou faux, il suffit de faire le calcul (un calcul d'intégrale simple puis deux limites).

Et est-ce que ça a à voir avec ton interrogation initiale ?

Cordialement.

Nb : C'est une vraie question, car je ne sais pas ce que signifiait ta question initiale (le Dirac n'est pas une fonction).

[coussin]

OK. L'intégrale fait 2*atan(e/h) (j'ai la flemme du LaTeX...)
Si je fais e->0 d'abord, ça fait lim quand h->0 de 0=0.
Si je fais h->0 d'abord, ça fait lim quand e->0 de pi=pi.

Désolé pour mon premier message : à chaque fois que je poste en section maths sur la distribution de Dirac, je me fais bizuter pour mon "traitement de physicien" de cette distribution

[coussin]

Et finalement, la propriété que j'ai démontré (la non-commutativité des deux limites) pour le noyau de Poisson (les fonctions f_eta(x)) se généralise-t-elle à n'importe quelle autres "fonctions de Delta naissantes" (nascent Delta functions en anglais; je sais pas comment traduire ça...).

Parce que là, tout est analytique et j'ai pu faire l'intégrale et les limites. Mais, en fait, dans mon cas les fonctions f_eta(x) ne sont pas analytiques mais seulement numériques.

En d'autres termes, est-ce que la non-commutativité des deux limites est une conséquence directe du fait que les f_eta(x) tendent vers delta (je sais : ce que je viens de dire est faux...)?

[gg0]

Je n'ai pas de réponse à ta question,

mais il est classique qu'intervertir des limites donne des résultats différents.
Une raison de plus pour passer du "traitement de physicien" à un calcul mathématique correct..

Cordialement.

[coussin]

En d'autres termes, est-ce que la non-commutativité des deux limites est une conséquence directe du fait que les f_eta(x) tendent vers delta (je sais : ce que je viens de dire est faux...)?

C'est le cas car c'est en utilisant la propriété de scaling f_eta(x)=1/eta f(x/eta) propre aux fonctions de Dirac naissantes que je démontre que la deuxième limite est différente de zéro

[Amanuensis]

C'est le cas car c'est en utilisant la propriété de scaling f_eta(x)=1/eta f(x/eta) propre aux fonctions de Dirac naissantes

La définition de ces fonctions n'impliquent pas le scaling. C'est juste une propriété de cas usuels.

Par ailleurs, vous choisissez d'approcher l'indicatrice de {0} par la famille des indicatrices de [-eps, + eps], des fonctions non continues, pas des fonctions test. Que se passe-t-il si vous choisissez des fonctions test?

[Amanuensis]

Je réponds à ma question :

Si on prend comme nascentes et pour l'indicatrice de {0} , l'intégrale vaut , on a comme limite 1 quand b tend vers 0 avec a non nul, et 0 quand a tend vers 0 avec b non nul.

On a là encore des limites différentes alors que ce sont des fonctions Cinfini qu'on fait converger vers l'indicatrice de {0}...

[coussin]

C'est le cas car c'est en utilisant la propriété de scaling f_eta(x)=1/eta f(x/eta) propre aux fonctions de Dirac naissantes que je démontre que la deuxième limite est différente de zéro

Je détaille mon raisonnement; je ne dis rien sur les fonctions pour l'instant.

(1) Je commence par la première expression qui est la plus simple :

Sans aller plus loin, cette expression est nulle si la fonction est continue en .

(2) La deuxième expression :

Ici, j'ai fait plusieurs suppositions : les fonctions ont des primitives pour tout . Cette séquences de primitives convergent vers une fonction . Si je suppose que est continue en , cette expression vaut 0.

(3) Finalement, je suppose maintenant que les fonctions sont des fonctions de Dirac naissantes i.e. avec à support compact d'intégrale 1.


C'est le cas (2) qui est un peu "flottant" car je fais des suppositions sur l'existence de primitives, etc…
Qu'en pensez-vous ?

[Amanuensis]

On cherche à donner un sens à <I{0} | \delta>, en se basant sur l'idée que d'une part <I{0} | f> est défini sur les fonctions test f comme limite de <I_n | f>, et d'autre par que <f | \delta> est défini sur les fonctions test f comme limite de <f | \delta_n>, avec I_n et \delta_n des fonctions test.

Or, en tant que distribution, I{0}=0 puisque bornée et nulle partout sauf sur un ensemble de mesure nulle.

Cela donne nécessairement 1 et 0 comme limites, simplement parce que <f{0} |\delta_n>=0 et <I_n | \delta>=1.