convergence d'une suite

[Ana_20]

bonjour,
l'on considère une suite (u_n)_{n \in \N}, alors : \prod_{k=1}^n (1+a^k)

étudier la convergence .
j'ai essayé d'encadrer, de passer au logarithme pour avoir une somme.. mais cela n'aboutit pas.. une piste ??

Merci
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[Ana_20]

c'est le produit de k allant de 1 à n de (1+a^k)

[Seirios]

Bonjour,

Sait-on si ou ?

[Seirios]

Si , passer au logarithme est une bonne idée ; il suffit alors d'utiliser un équivalent pour conclure.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Bizarre cet énoncé qui commence par définir une suite puis ne s'en sert jamais ! Mais utilise un a qui n'a jamais été défini !
Es-tu sûr(e), Ana_20, que c'est vraiment ton énoncé ?

Cordialement.

[Ana_20]

oui : a est compris entre ]0;1[ !
il faut trouver de ln(1+a^k) ?

[Ana_20]

trouver un équivalent*
j'avais juste oublier de définir le a...

[gg0]

Pourrais-tu donner un énoncé cohérent sans sauter des mots comme dans "il faut trouver de ln(1+a^k) " ! le quoi ?
Si tu n'es pas capable d'écrire une phrase correcte, comment pourrais-tu communiquer ?

Tu n'as toujours pas expliqué le Un.

[ansset]

bonsoir oui trouver sachant 0<a<1 un equivalent de ln(1+a^k) puis sommer.
sans oublier à la fin de revenir à la suite ( produit ) par une exponentielle pour faire propre.

[Ana_20]

Ah oui parce que lim (k--> +infini) a^k =0 quand 0<a<1
Merci beaucoup !

[ansset]

Ah oui parce que lim (k--> +infini) a^k =0 quand 0<a<1
Merci beaucoup !

non, ce n'est pas aussi simple.
quel est l'équivalent de ln(1+a^k) ?
indice : premier terme du DL .

[MMu]

1)Pour on a . Montre que
2)Pour on a . Montre que ne converge pas.
3)Pour montre que

4)Pour on a donc la suite est croissante , et avec l'inusable inégalité AM-GM on a :
, d'où la convergence de (puisque croissante et bornée)

5)Pour on peut écrire avec :

converge puisque positive et décroissante . converge puisque croissante et bornée (cf point 4 ci-dessus)
Il s'ensuit la convergence de

[ansset]

peut être plus simplement, trouve un majorant simple de ln(1+a^k) ! ( qui est aussi son equivalent quand k est grand )

[Ana_20]

l'équivalent de ln(1+a^k) quand k est grand est a^k ! mais puisque a est compris entre ]0;1[ a^k <a
c'est bien ca ?

[topmath]

Bonsoir peut être quand pourra utiliser ce ci ln(1+a^k)<ln(1+a) si 0<a<1 et k-->+inf .

Cordialement

[Ana_20]

donc la somme pour k allant de 1 à n de [ln(1+a^k)]<somme [ln(1+a)] pour k allant de 1 à n
mais somme [ln(1+a)] pour k allant de 1 à n = n*ln(1+a)
et il y a toujours le n dans le majorant c'est cela qui me gène !

[Ana_20]

donc la somme pour k allant de 1 à n de [ln(1+a^k)]<somme [ln(1+a)] pour k allant de 1 à n
mais somme [ln(1+a)] pour k allant de 1 à n
et il y a toujours le n dans le majorant c'est cela qui me gène

[ansset]

MMU a très bien explicité la reponse, et même au delà en prenant tous les cas de figure.
n'ayant pas latex, je peux essayer de le redire pour le cas qui t'interesse ( 0<a<1 )
en passant par les ln , c'est plus visible.
produit de termes (1+a^k)
ln(produit)=somme(ln(1+a^k)

on s'interresse à la nature de la suite. ( la somme pour l'instant )
ln(1+x)<x si x>1 ce qui est le cas
ln(1+a^k)<a^k ( qui est même un equivalent quand k grand.)
somme ln(1+a^k)<somme(a^k) . cette somme est bien connue
de 0 à N, le resultat est (1-a^(N+1))/(1-a) < 1/(1-a)
il faut revenir aux exponentielles donc
produit < exp(1/1-a)
ton produit est croissant et majoré donc convergent.
désolé MMu d'être "verbal" .
cordialement

[Ana_20]

Merci à tous !

[breukin]

Il n'empêche que la remarque de gg0 était plus que fondée.
L'énoncé proposé est nécessairement faux ou incomplet.

En effet, on se donne une suite , puis il faut étudier la convergence de quelque chose qui ne dépend pas de cette suite.
Si ça se trouve, n'est pas une constante, mais quelque chose qui dépend de la suite.