racine(N) : entier ou irrationnel !
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racine(N) : entier ou irrationnel !



  1. #1
    ansset
    Animateur Mathématiques

    racine(N) : entier ou irrationnel !


    ------

    bonjour,
    la question a déjà été posée mainte fois sous différentes formes.
    par exemple rac(2) irrationnel ou rac(5) irrationnel,....

    si on la pose pour tout N:
    j'ai déjà une démonstration en suivant les étapes suivantes :
    1) rac(p) irrationnel si p est premier
    2) rac( produit(pi)) irrationnel si pi irrationnels. ( chaque pi à la puissance 1 )
    3) généralisation à tout N.

    mais à mon arrivée ici , on ( ericc je crois ) m'a suggéré une autre approche en passant par les polynomes.
    P (x) = a0 +a1x+a2*x²+....+an*x^n
    si p/q est solution on montre d'abord :
    p divise a0 et q divise an. ça c'est fait.
    ensuite on considère P(x²) , .....
    j'ai cru à l'époque sentir le cheminement, mais je ne le retrouve plus.

    si qcq connait cette voie, je le remercie de me rafraichir la mémoire.

    -----
    Dernière modification par ansset ; 05/09/2013 à 11h54.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  2. #2
    Tryss

    Re : racine(N) : entier ou irrationnel !

    Sinon, on peut le faire directement :

    Supposons que avec

    Alors

    Or p est premier avec q, donc p² est premier avec q², ainsi q=1, et par suite N est un carré parfait


    Ainsi toute racine carrée rationnelle est entière
    Dernière modification par Tryss ; 05/09/2013 à 14h19.

  3. #3
    toothpick-charlie

    Re : racine(N) : entier ou irrationnel !

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    mais à mon arrivée ici , on ( ericc je crois ) m'a suggéré une autre approche en passant par les polynomes.
    P (x) = a0 +a1x+a2*x²+....+an*x^n
    si p/q est solution on montre d'abord :
    (...)
    ce n'est pas vrai que les racines d'un polynôme à coefficients entiers de degré > 1 sont soit entières soit rationnelles, prends P(x)=(2x-3)(x-1)

    c'est vrai pour un polynôme unitaire.

  4. #4
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : racine(N) : entier ou irrationnel !

    je ne comprend pas Tryss.
    le but est de demontrer que la racine carré d'un entier est soit entière soit irrationnelle , et ne peut être rationnelle.
    ce que je ne vois pas dans ton explication.


    ps: à toopick, tu as certainement voulu ecrire irrationnelle dans ta première phrase
    .
    Dernière modification par ansset ; 05/09/2013 à 20h20.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : racine(N) : entier ou irrationnel !

    re,
    concernant les polynomes, c'est certainement ça qu'a voulu dire ericc :

    Un autre moyen de construire des nombres irrationnels considère les nombres algébriques irrationnels, c'est-à-dire des racines de polynômes à coefficients entiers. Considérons une équation algébrique de la forme
    p(X)=a(n)X^n+a(n-1)X^(n-1)+....+a(1) X+a(0)=0
    où les coefficients a(i) sont entiers.

    Supposons qu'il existe un réel x tel que p(x)=0 (par exemple si n est impair et a_n est non nul, un tel x existe d'après le théorème des valeurs intermédiaires).

    Les seules racines rationnelles de cette équation algébrique sont de la forme r/s d'une fraction irréductible où r est diviseur de a_0 et s un diviseur de a_n ; il y a seulement un nombre fini de valeurs possibles que l'on peut essayer à la main. Si aucune de ces valeurs n'est racine de p, x doit être irrationnel.
    Dernière modification par ansset ; 05/09/2013 à 20h30.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  7. #6
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : racine(N) : entier ou irrationnel !

    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    Sinon, on peut le faire directement :

    Supposons que avec

    Alors

    Or p est premier avec q, donc p² est premier avec q², ainsi q=1, et par suite N est un carré parfait


    Ainsi toute racine carrée rationnelle est entière
    la phrase que j'ai cotée me semble fausse.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  8. #7
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : racine(N) : entier ou irrationnel !

    correction, j'ai rien dit ! sorry.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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