Suite d'intégrales

Herbiti · 25/01/2006 - 09h17

Bonjour, j'ai trouvé un truc marrant:

Je définis la suite suivante:
$f_{{1}}={e^{x}}$
$f_{{n+1}}=\int \!{\frac {f_{{n}}}{{e^{x}}}}{dx}$
Un petit détail: je laisse tomber toutes les constantes d'intégrations durant le procédé

J'ai trouvé que la formule générale de $f_{{n}}$ est la suivante:

$f_{{n}}= \left(-1 \right)^{n}{e^{-\left( n-2 \right) x}}\left({\frac {x+\Psi \left( n-1 \right) +\gamma}{ \left( n-2 \right) !}}\right)$

où:
$\Psi \left( x \right) ={\frac {{\frac {d}{dx}}\Gamma \left(x\right)}{\Gamma \left( x \right)}}$ (La fonction Psi)
$\Gamma \left( x \right) = \left( x-1 \right) !$ (La fonction Gamma)
$\gamma= 0.5772156649$ (La constante d'Euler)

Pour que vous compreniez mieux la suite, je vais vous donner la fonction $f_{{3}}$ et la fonction $f_{{4}}$ :
$f_{{3}}=\int \!{\frac {\int \!1{dx}}{{e^{x}}}}{dx}=-{e^{-x}} \left( x+1 \right)$
$f_{{4}}=\int \frac {\int \!{\frac {\int \!1{dx}}{{e^{x}}}{dx}}}{{e^{x} }}{dx}={e^{-2{x}}} \left(\frac {2{x}+3}{4}\right)$

On peut le vérifier par la formule:
$f_{{3}}= \left(-1 \right)^{3}{e^{-x}}\left({x+\Psi \left( 2 \right) +\gamma}\right)$
Je sais que $\Psi \left( 2 \right)=1-\gamma$

Donc, $f_{{3}}= -{e^{-x}}\left({x+1\right)$

Même raisonnement pour $f_{{4}}$ , en sachant que $\Psi \left( 3 \right)=\frac{3}{2}-\gamma$ , et par simplifications, on arrive au résultat escompté.

Qu'en pensez-vous?

Merci

rvz · 25/01/2006 - 13h37

Je comprends pas bien ce que tu fais. C'est un peu le bordel de faire des intégrales multiples avec les mêmes variables d'intégration à chaque fois : On voit pas bien de quoi il s'agit. En plus, peut-être serait-il bon de rappeler la vraie définition de la fonction d'Euler, celle avec l'intégrale. Sinon je sais pas trop ce qu'est la dérivée de la fonction factorielle...

__
rvz

martini_bird · 25/01/2006 - 16h08

Salut,

la fonction digamma ( $\Psi$ ) est la dérivée logarithmique de la fonction $\Gamma$ et elle possède pas mal de propriétés en lien avec la théorie des nombres (fonction $\zeta$ , etc.).
En particulier, $\Psi(n)=-\gamma+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}=-\gamma+H_{n-1}$ le n-1-ème nombre harmonique.

Pour l'expliciter, il suffit de partir de la formule de Weierstrass pour la fonction $\Gamma$ .

Cordialement.

Herbiti · 25/01/2006 - 17h11

Envoyé par rvz

Je comprends pas bien ce que tu fais. C'est un peu le bordel de faire des intégrales multiples avec les mêmes variables d'intégration à chaque fois : On voit pas bien de quoi il s'agit. En plus, peut-être serait-il bon de rappeler la vraie définition de la fonction d'Euler, celle avec l'intégrale. Sinon je sais pas trop ce qu'est la dérivée de la fonction factorielle...

1) En fait, la nième fonction de ma suite est qu'on intégre la fonction 1 et on divise par $e^{x}$ , puis on réintégre le tout, puis on divise par e^x, puis, on réintégre le tout, etc... cela $n-2$ fois.

2) La dérivée de la factorielle est la suivante:
${\frac {d}{dx}}\Gamma \left( x \right) =\Psi \left( x \right) \Gamma \left( x \right)$ .

3) Je n'ai pas parlé de la fonction d'Euler, j'ai parlé de la constante $\gamma$ d'Euler

martini_bird · 25/01/2006 - 17h19

En fait, à la n_ième étape tu ajoutes 1/n dans la parenthèse c'est tout...

Herbiti · 25/01/2006 - 17h28

Envoyé par martini_bird

En fait, à la n_ième étape tu ajoutes 1/n dans la parenthèse c'est tout...

Non, j'ajoute:
$\frac{1}{n-2}$

Bien sûr cette formule n'est alors valable que pour $n \> 2$

Et je fais encore plein de changements:
1) Changement du signe de l'expression
2) Diminuer de une unité l'exposant de l'exponentielle
3) Je divise toute la parenthèse par n-2

Herbiti · 26/01/2006 - 07h47

J'ai étendu la formule avec une base autre que la base népérienne

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