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Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

  1. Kwaz1973

    Date d'inscription
    août 2004
    Localisation
    Rouen
    Âge
    44
    Messages
    107

    Question Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Chers lecteurs, bonjour

    J'imagine que cette question a déjà été posée. J'ai pourtant fait une recherche dans ce forum mais je n'ai rien trouvé de vraiment explicite sur le sujet.

    Donc je la (re)pose :

    Existe-t-il une infinité de nombres premiers et quelle que soit la réponse à cette question, existe-t-il une demonstration simple (abordable pour un non-mathématicien tel que moi) qui démontrerait la réponse à cette question ?

    Par avance merci pour vos réponses

    kwAz

    -----

     


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  2. Danorane

    Date d'inscription
    mai 2005
    Localisation
    Paris
    Âge
    29
    Messages
    60

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Bonjour,

    Oui, il y a en a une infinité, et ça se démontre assez simplement, par l'absurde.

    http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/NbPreInf.htm
     

  3. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    57
    Messages
    2 041

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Salut!

    Oui, il y a une infinité de nombres premiers, et c'est connu depuis l'Antiquité (je nesais plus qui...). Pas besoin de raisonnement par l'absurde.

    Soit p un nombre premier, et soit n = p! + 1. Alors n n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par... aucun nombre (premier ou non) <= p (le reste est 1 à chaque fois). Donc, soit n est premier (et > p), soit il est divisible par un nombre premier qui ne peut être que > p.

    Donc, pour tout p premier, il existe un nombre premier > p. Comme il n'y a pas de raison que ça s'arrête... CQFD.

    Voilà.

    -- françois
     

  4. Eric78

    Date d'inscription
    novembre 2003
    Localisation
    Région parisienne
    Âge
    31
    Messages
    570

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Citation Envoyé par fderwelt
    Pas besoin de raisonnement par l'absurde.
    (...)
    Donc, pour tout p premier, il existe un nombre premier > p. Comme il n'y a pas de raison que ça s'arrête... CQFD.
    Tu fais un raisonnement par l'absurde caché pour dire ca Sinon c'est une démonstration due à Euclide.

    Eric
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.
     

  5. matthias

    Date d'inscription
    février 2005
    Localisation
    IdF
    Messages
    4 439

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Citation Envoyé par Eric78
    Tu fais un raisonnement par l'absurde caché pour dire ca
    Pas nécessairement.
     


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  6. Kelm

    Date d'inscription
    novembre 2004
    Âge
    29
    Messages
    82

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    suffit de prendre l'exemple de
    30031 =1*2*3*5*7*11*13 +1
    30031=59*509
    59>13
    d'ou il existe une infinité de nombres premiers ...
     

  7. eirtemoeg

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Âge
    88
    Messages
    219

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Outre celle d'Euclide il y beaucoup d'autres démonstration qui prouvent que la suite des nombres premiers est infinie : Kummer, Hurwitz, Schorn, Euler,Thue, Perott, Auric, Métrod, Washington, Fürstenberg etc...
     

  8. erik

    Date d'inscription
    août 2004
    Messages
    3 604

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Ce que dit fdervelt est faux
    Non,non, c'est que tu mal compris.

    Supposons que le plus grand nombre premier soit 13.

    Je construit le nombre 1*2*3*5*7*11*13+1=30031, par construction ce nombre n'est pas divisible par 2, ni par 3, ni par 5, ...., ni par 13 (car si l'on divise 30031 par 2 ou 3 ou 5 ... ou 13 on a 1 comme reste).

    Donc SOIT ce nombre est premier SOIT il est divisible par un nombre premier plus grand que 13.
    Et donc 13 n'est pas le plus grand nombre premier.

    Tu remplace 13 par n pour démontrer que n n'est pas le plus grand nombre premier, et donc que le plus grand nombre premier n'existe pas. Et tu réobtient la démo qu'a donné fdervelt
     

  9. eirtemoeg

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Âge
    88
    Messages
    219

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    La démonstration de Fürstenberg utilise la topologie ; elle peut être séduisante pour ceux qui se passionnent pour cette branche des mathématiques.
     

  10. Kelm

    Date d'inscription
    novembre 2004
    Âge
    29
    Messages
    82

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Oui oui escuse moi j'ai lu trop vite g changé aprés
     

  11. erik

    Date d'inscription
    août 2004
    Messages
    3 604

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    La démonstration de Fürstenberg utilise la topologie ; elle peut être séduisante pour ceux qui se passionnent pour cette branche des mathématiques.
    Ah, très jolie et super élégant. Je ne connaissais absolument pas (c'est une honte que mes profs de topo. n'ait pas donné ça en exo !!!!)
    Le lien que j'ai trouvé :
    preuve de Fürstenberg (en anglais)
     

  12. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    57
    Messages
    2 041

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Citation Envoyé par eirtemoeg
    La démonstration de Fürstenberg utilise la topologie ; elle peut être séduisante pour ceux qui se passionnent pour cette branche des mathématiques.
    Très, très jolie démonstration. Mais elle suppose le recours à la topologie, qui est tout de même moins élémentaire que l'arithmétique...

    Un petit détail sur "mon" raisonnement (c'est bien Euclide, mais moi, c'est Alzheimer qui commence à me travailler ).

    Pas besoin de prendre n premier, mais il faut bien prendre n! (factorielle de n) , et pas seulement le produit de tous les nombres premiers <= n. Pour n=8 (pour 13, c'est trop long à écrire):

    m := n!+1 = 8.7.6.5.4.3.2.1 + 1 = 40321

    En divisant m par 2,3,4,5,6,7 ou 8, il reste toujours 1. Donc si m est divisible, ce ne peut être que par un nombre plus grand que 8. En d'autres termes, tous les diviseurs de m sont > 8.

    Il faut bien sûr savoir que tout nombre est produit de facteurs premiers; dans ce cas, tous les facteurs premiers de m sont > 8 (c'est peut-être m lui-même, hein, on ne sait jamais).

    Je ne vois pas de raisonnement par l'absurde là-dedans, on montre simplement que l'ensemble des nombres premiers n'est pas borné supérieurement, donc il est infini.

    -- françois
     

  13. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    57
    Messages
    2 041

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Ah, au fait: 8! + 1 = 40321 = 61 x 661

    tous deux premiers.

    D'ailleurs, même si on ne sait pas que tout nombre est produit de facteurs premiers, ça tient quand même: soit m est premier, et c'est OK, soit il ne l'est pas, et il est divisible par un nombre premier > 8, qui lui-même est peut-être premier, sinon divisible par un nombre > 8, et la descente s'arrête forcément un jour à un nombre premier.

    -- françois.
    Dernière modification par fderwelt ; 08/02/2006 à 18h31.
     

  14. eirtemoeg

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Âge
    88
    Messages
    219

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Mais 40321 n'est pas premier alors ce procédé ne prouve rien ; il faut dans le produit n'utiliser que des facteurs premiers.
     

  15. eirtemoeg

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Âge
    88
    Messages
    219

    Re : Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

    Pour ce qui concerne les nombres premiers il faut connaître la conjecture de Bertrand qui annonce que : " entre un nombre et son double il existe toujours un nombre premier" cette conjecture a été démontrée par Tchebytchev
     


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