Infinité de racines

[jojoxxp4]

Bonjour,

Pourquoi Les seuls polynômes (complexes ou réels) qui admettent une infinité de racines sont les polynômes constants ???


Merci d'avance.
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[Médiat]

Bonjour,

Les polynômes constants, vous êtes sûr ?

Sinon, quel devrait être le degré d'un polynôme ayant une infinité de racines ?

[jojoxxp4]

Ce que je sais c'est que le 0 peut s’écrire 0 = P.Q avec Q = 0 donc n'importe quel polynôme P divise 0 mais pour les polynômes constants autre que 0 je ne sais pas ...


Les premières réponses dans les 2 forums est: "Tout polynôme qui admet une infinité de racines est un polynôme constant"
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-516108.html
http://www.les-mathematiques.net/pho...,110273,110285

[Médiat]

Les seuls polynômes (complexes ou réels) qui admettent une infinité de racines sont les polynômes constants

Faux

Tout polynôme qui admet une infinité de racines est un polynôme constant

Faux

Tout polynôme (à coefficient complexes ou réels) qui admet une infinité de racines est un polynôme constant

Vrai

A vous de choisir vos sources.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jojoxxp4]

La proposition 1 est fausse puisqu'il n'y a pas de polynôme réel ou complexe, ce sont les coefficients...

Mais la proposition 2 est fausse puisque dans l'ensemble des réels il est impossible que tout polynôme constant ait une infinité de racines !?
Dans C je n'ai aucune idée en tête s'il le peut ou non, mais il parait que oui

[gg0]

Le polynôme constant égal à 1 a-t-il une infinité de racines ?

[Mocassins]

Bonjour,

Si tu veux démontrer le résultat, tu devrais commencer par relire un cours sur les polynômes à une indéterminée, leur définition, la définition de l'évaluation d'un polynôme en un scalaire, le fait que soit euclidien via l'application degré...

Tout polynôme qui admet une infinité de racines est un polynôme constant

Il y a peut-être quelque chose qui m'échappe, mais je ne vois pas pourquoi celle-ci serait fausse...?

[jojoxxp4]

Ah Ah d'accord c'est l'ensemble des eⁱ(2kπ/n) et donc possède n racines n-ième !

Merci à tous !!

[Médiat]

Il y a peut-être quelque chose qui m'échappe, mais je ne vois pas pourquoi celle-ci serait fausse...?

Vous aurez remarqué que dans cette phrase les coefficients ne sont pas caractérisés, contrairement à la phrase suivante, qui est vraie (cf. les anneaux infinis de caractéristique différente de 0)

[jojoxxp4]

Mais deux secondes, 1 n'est pas a coefficient dans C

[gg0]

Ah Ah d'accord c'est l'ensemble des eⁱ(2kπ/n) et donc possède n racines n-ième !

Merci à tous !!

Je ne comprends pas de quoi tu parles : le c' n'a de sens que s'il est précédé d'une phrase qui permet de le définir.

Cordialement.

[jojoxxp4]

J'étais en train de vous répondre :

Le polynôme constant égal à 1 a-t-il une infinité de racines ?

[Mocassins]

Vous pensez peut-être à ?

Sauf erreur, l'anneau est euclidien dès que est un corps commutatif, indépendamment de sa caractéristique.
De même la règle et le fait que les soient irréductibles sont vrais.

Qu'est-ce qui empêche de mener la démonstration comme dans ?

[Mocassins]

Ah mais vous aviez écrit "anneaux infinis", effectivement dans un anneau ce n'est plus pareil.
Même dans , possède une infinité de racines.

[Médiat]

Non, en fait je pensais à et à ,

Mais il y a des exemples encore plus simples comme toutes les algèbres à diviseurs de 0, comme les nombres perplexes pour lesquels admet une infinité de solutions (tous les nombres de la forme pour un réel quelconque.

[EDIT] Croisement avec votre réponse

[PlaneteF]

J'étais en train de vous répondre :

Bonjour jojoxxp4,

Je pense que tu fais une confusion : gg0 te parlait du polynôme constant , ... et toi ensuite tu parles des racines -ièmes de l'unité qui font intervenir le polynôme , ... Donc il ne s'agit pas de la même chose.

Cordialement

[jojoxxp4]

Ah donc:
Si P(z) = 1, il est impossible de trouver un z tel que P(z) = 0

donc pas de racines

[gg0]

J'étais en train de vous répondre :

Je traduis ma question : Pour quelles valeurs de la variable (ou des variables) le polynôme égal à 1 est-il égal à 0 ?

Je vois que tu as fini par comprendre. Je me demande =ce que tu as aussi compris de travers dans les autres messages.
Ne serait-il pas utile que tu revoies de près ce qu'est un polynôme; ce qu'est une racine ?

Cordialement.