Intégrale double
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Intégrale double



  1. #1
    Mohanad

    Post Intégrale double


    ------

    Salut tous,
    j'arrive pas à resoudre cet integrale double: entre 0 et 1 integrale dy, puis entre 0 et y integrale exp[(1-x)^2] dx.
    Merci d'avance

    -----

  2. #2
    topmath

    Re : Intégrale double

    Bonsoir à tous , pour éviter tout mal entendue sur les donner :
    Citation Envoyé par Mohanad Voir le message
    Salut tous,
    j'arrive pas à resoudre cet integrale double: entre 0 et 1 integrale dy, puis entre 0 et y integrale exp[(1-x)^2] dx.
    Merci d'avance
    Est ça votre intégrale ?

    Cordialement

  3. #3
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Intégrale double

    Bonsoir.

    j'imagine qu'il s'agit de

    notée


    La difficulté est que la fonction intérieure n'a pas de primitive simple.

    Donc le calcul ne se fait pas avec les fonctions élémentaires.

    D'où sort ce calcul ?

  4. #4
    Mohanad

    Re : Intégrale double

    C'est bien l'intégrale que vous venez de mentionner. Je pense que la difficulté est l'intégrale par rapport à dx.
    D'ailleurs, j'ai essayé de primitiver par rapport à dy (et parsuite changer les bornes) mais ca ne sert à rien

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    God's Breath

    Re : Intégrale double

    Bonjour,

    Quand ça ne passe pas dans un sens, on peut essayer d'utiliser le théorème de Fubini pour intégrer d'abord en y, puis en x.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  7. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Intégrale double

    Sauf cas particulier (et je ne vois pas bien ici le cas particulier), si on savait intégrer, on trouverait une primitive simple de . Ce qui n'est pas possible.

    Cordialement

  8. #7
    Mohanad

    Re : Intégrale double

    Voilà ci-joint ce qu'un logiciel donne comme réponse, y compris erf et i ?? ca veut dire quoi erf en fait?
    Images attachées Images attachées  

  9. #8
    topmath

    Re : Intégrale double

    Bonsoir à tous :
    En attendent une validation de la PJ , je soutient la thèse de gg0 cette intégrale ne peux ce calculer à l'aide des fonctions élémentaires , par contre cette intégrale s’exprime en fonction de la fontion de Gauss erf .


    Cordialement
    Dernière modification par topmath ; 30/03/2014 à 22h55.

  10. #9
    God's Breath

    Re : Intégrale double

    Et je maintiens contre vents et marées, quitte à avoir tort, que cette intégrale est calculable à l'aide des constantes usuelles par interversion de l'ordre des intégrations.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  11. #10
    topmath

    Re : Intégrale double

    Bonjour à tous :
    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Et je maintiens contre vents et marées, quitte à avoir tort, que cette intégrale est calculable à l'aide des constantes usuelles par interversion de l'ordre des intégrations.
    Salut God's Breath j'aimerai bien savoir le sens de constante usuelle SVP ? et merci d'avance .


    Amicalement

  12. #11
    God's Breath

    Re : Intégrale double

    Les constantes usuelles sont celles que l'on obtient à partir des fonctions usuelles : puissances, exponentielles, logarithmes, sinus, cosinus,...
    ou sont des constantes usuelles, la constante d'Euler ou ne sont pas des constantes usuelles.

    Quant à l'intégrale qui pose problème, si l'on tient à intégrer dans l'ordre de l'énoncé, on obtient dans un premier temps une expression à l'aide de la fonction erf (qui n'est pas usuelle...), mais on poursuit aisément le calcul en intégrant par parties. Le tout étant de bien choisir les parties...
    Dernière modification par God's Breath ; 31/03/2014 à 07h13.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  13. #12
    topmath

    Re : Intégrale double

    Bonjour à tous :
    Ah d'accord God's Breath merci infiniment pour ces détailles .

    Amicalement

  14. #13
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Intégrale double

    Je confirme ce que dit God's Breath.

    Et je fais amende honorable : En inversant l'ordre d'intégration (Fubini), on obtient bien une primitive très simple. Et il a effectivement raison sur la deuxième méthode.

    Cordialement.

  15. #14
    Mohanad

    Re : Intégrale double

    Bonsoir tous,

    j'ai demandé une prof.. bref, il faut faire une permutation (changer les bornes) donc primitiver par rapport à dy et parsuite changement de variables, t=(1-x)^2 et ca ira. Et si je me trompe pas, la réponse de l'intégrale devrait etre (e/2-1/2)

    Cordialement

  16. #15
    Mohanad

    Re : Intégrale double

    Merci "topmath", "gg0" et "God's Breath"
    A+

  17. #16
    topmath

    Re : Intégrale double

    Bonsoir à tous :Je vous donne le résultat suite à c'est donner .
    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Bonsoir.

    j'imagine qu'il s'agit de

    notée


    La difficulté est que la fonction intérieure n'a pas de primitive simple.

    Donc le calcul ne se fait pas avec les fonctions élémentaires.

    D'où sort ce calcul ?
    Nom : intégral.JPG
Affichages : 90
Taille : 23,7 Ko



    Amicalement

  18. #17
    God's Breath

    Re : Intégrale double

    En intervertissant les intégrales :



    Par calcul direct, en notant la primitive de qui s'annule en 0 :

    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  19. #18
    Mohanad

    Re : Intégrale double

    @God's Breath: c'est bien ca ce que je voulais dire
    @topmath: d'accord?
    Dernière modification par Mohanad ; 31/03/2014 à 22h54. Motif: juste ajouter une information

  20. #19
    topmath

    Re : Intégrale double

    Bonsoir à tous :
    Citation Envoyé par Mohanad Voir le message
    @God's Breath: c'est bien ca ce que je voulais dire
    @topmath: d'accord?
    Oui tout à fait d'accord avec le résultat de God's Breath , on ce qui concerne mon résultat c'est à un facteur d'un par rapport au résultat de God's Breath , enfin sur que je me suis peut être mal introduit les on tout cas je vais refaire ça .

    Cordialement

  21. #20
    QueNenni

    Re : Intégrale double

    Bonsoir,
    Le domaine d'intégration est un triangle isocèle rectangle et en commutant l'ordre d'intégration je trouve en effet 1/2 (e-1)
    Je vois, j'oublie. Je fais, je retiens.

  22. #21
    topmath

    Re : Intégrale double

    Bonjour à tous je crois que le menu ne s’affiche pas pour la gestion de repense !!

    Cordialement

  23. #22
    joel_5632

    Re : Intégrale double

    Futé le calcul direct de God's Breath

  24. #23
    God's Breath

    Re : Intégrale double

    C'est une technique usuelle pour déterminer des spectres d'opérateurs à noyaux.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  25. #24
    QueNenni

    Re : Intégrale double

    En ce qui me concerne et étant parfaitement conscient de mes limites en math je ne comprends pas le calcul direct de God's Breath, je vous l'avoue humblement.
    Je vois, j'oublie. Je fais, je retiens.

  26. #25
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Intégrale double

    Bonjour QueNenni.

    Deux choses à connaître : la méthode d'inversion des intégrales ("théorème de Fubini"); le fait que le domaine d'intégration () peut être donné par . Un simple dessin le montre.

    Cordialement.

  27. #26
    joel_5632

    Re : Intégrale double

    @QueNenni

    C'est simplement une ipp (Intégration Par Partie)

    Il intègre 1, ce qui donne y-1 (en général on aurait utilisé y comme primitive de 1 mais ici y-1 arrange les affaires par la suite) et il dérive F(y), ce qui donne
    Dernière modification par joel_5632 ; 02/04/2014 à 11h24.

  28. #27
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Intégrale double

    Désolé, QueNenni,

    j'ai cru que le calcul direct était le premier.

    Cordialement.

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