Image réciproque quotient fonctions fonction polynomiale 2nd degré

[Jujulive]

Bonsoir,

Je m'interroge à propos d'une question :

J'ai une fonction qui est le quotient de deux fonctions polynômes du second degré. Je cherche à montrer que l'image réciproque de {r} par ma fonction f contient en général 2 éléments, de même pour l'élément {f(a)} tel que l'on ai f^-1({f(a)} dans ce dernier cas.

J'ai trituré ma fonction en vain. Je ne vois pas comment le justifier rigoureusement. Ma fonction possède 2 valeurs interdites et ne fait que de décroitre. J'ai pensé à utiliser le théorème des valeurs intermédiaires. Serait-ce alors suffisant ? Si non, comment devrais-je procéder ?

Bonne soirée

Cordialement
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[PlaneteF]

Bonsoir,

Euuuh, ... c'est quoi exactement "f" ?? ... c'est quoi ce "r" ?? ... c'est quoi précisément "a" ?? ... c'est quoi ces "2 valeurs interdites" ... bref c'est quoi ton énoncé

Cordialement

[Jujulive]

Bonsoir planetF,

C'est vrai que j'ai été vague. En effet, je souhaite résoudre l'exercice par moi même. Je pensais qu'il existait une manière générale connue permettant de résoudre rapidement ce problème.

Bref :

f : R -> R tel que f(x) = (-x²+8x-12)/(x²-4x+3)

f^-1({r}) avec r appartient à R

a est un réel différent de 1 et 3

Cordialement

[gg0]

Il te suffit de résoudre l'équation f(x)=r, qui se ramène à du second degré si r est différent de -1.

"a est un réel différent de 1 et 3" ?? Tu veux dire r ? ou x ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jujulive]

Bonsoir,

j'ai écouté ton idée et voici ce que cela donne :

1)

---si r est différent de -1 :
f(x) = r donne Delta > 0 donc 2 solutions soit f^-1({r}) admet en général 2 éléments, mis à part pour r = -1 où l'on trouve qu'une seule solution.

NB: f(x) = {r} est il faux ?

2) Une autre question est de montrer que f^-1({f(a)}), contient 2 éléments où a est un réel (différent de 1 et 3)

Cordialement

[gg0]

1) Ok.
"f(x) = {r} est il faux ?" ?? Je ne sais pas ce que tu appelles faux, mais r est un nombre, {r} est un ensemble contenant un seul élément, et f(x) est un nombre. Donc f(x) et {r} sont différents.
Par contre f^-1({r}) est un objet parfaitement défini (voir ton cours) qui est un ensemble.
2) comme c'est quasiment la même question, il te suffit de te ramener au 1. Ou de refaire.

Bon travail !

[Jujulive]

Bonsoir,

ça marche

Juste un tout dernier point :

--> je ne parviens pas à visualiser la fonction définie par h(x) = max(f^-1({f(x)}) (son graphe)
Le domaine de définition de h est R, non ? Si c'est le cas, h se prolonge par continuité toujours sur R ?

Cordialement

[Jujulive]

En faire, à quoi correspond le max devant l'image réciproque ? (car je n'ai jamais vu cela auparavant)

Cordialement

[gg0]

Si A est un ensemble fini de nombres, max A est le plus grand nombre (max pour maximum)
Pour le domaine de définition regarder comment on peut obtenir h(x) à partir de x.

Cordialement.

[Jujulive]

Bonjour,

Je trouve cette notation max étrange. Je n'arrive pas à visualiser ce que cela donnerai graphiquement pour h(x). Faut-il raisonner sur des intervalles distincts puis prendre le max de cet intervalle ? Quand est-il lorsque le max est l'infini ?

Pour le domaine de définition, il me semble que ce soit le même que f(x), càd R\{1,3} ?

Cordialement

[gg0]

Non, il n'y a rien d'étrange !

Combien vaut max({2;3}) ?
Comme toujours, dans le calcul de f(x), x est une seule valeur, donc f^-1({f(x)} est un enemble très simple sur lequel tu as déjà travaillé, donc que tu connais si tu comprends ce que tu fais.

Ici aussi, tu ne fais pas le travail de compréhension (décodage) des notations. Si tu ne le fais pas dans un petit exercice, comment le feras-tu au partiel ou à l'examen ?

Cordialement

[Jujulive]

max({2;3}) vaut 3.

Si j'ai bien compris, je prend le max de chacun de mes intervalles de f(x) : soit -1 pour le premier, +l'infini et encore +l'infini pour les deux derniers ?

A moins que cela ne soit que 1 et 3 au final ?

Cordialement

[gg0]

Non.

On dirait que tu n'as pas fait le début de l'exercice. je commence d'ailleurs à croire que c'est le cas. Tu as seulement noté des écritures.

Tu n'as jamais essayé de voir ce que c'est que f^-1({1}) par exemple ? Ou f^-1({f(5)}) ? Pour comprendre de quoi tu parles depuis le début ...

[Jujulive]

Si, j'ai réalisé les questions précédentes.

Si x appartient à f^-1({1}) <=> f(x) = 1

Si x appartient à f^1({f(5)}) <=> f(x) = f(5)

Alors j'en déduit que si x appartient à f^-1({f(x)}) <=> f(x) = f(x) ? Du coup h(x) = max(f(x)) ?

Cordialement

[gg0]

Arrête d'écrire des âneries !

Et de tricher avec les questions qu'on te pose.

Bon, vu ta mauvaise volonté pour chercher par toi-même et de comprendre ce qu'on te dit, je te laisse.
Mais manifestement, tu n'as rien à faire dans la formation où tu es.

Ciao

[Jujulive]

Pourquoi tant de haine ?

Avec les question que l'on me pose ??? Déjà que l'on ne répond pas totalement aux miennes....

Cordialement

[Jujulive]

Ce qui m'embrouille c'est le fait d'avoir l'image réciproque par f d'un ensemble qui dépend lui aussi de f.

L'ensemble des images réciproques de f d'un ensemble {f(x)} correspond à quoi graphiquement ?

Cordialement

[invite02232301]

Bonjour,
Bon deja ca aiderait de savoir quel est ton niveau pour voir ce que tu ne comprends pas? Tu es en quelle classe?

[Jujulive]

Bonsoir,

Je suis en prépa PCSI.

J'ai peut être une solution à mon problème:

{f(x)} = {]-1;+infini[U]+infini;-infini[U]+infini;-1[} je ne sais pas si mettre des accolades est juste...

Du coup f^-1({f(x)} correspond à : ]-inf;1[U]1;3[U]3;+inf[ puisque l'image réciproque d'un ensemble d'arrivé correspond à l'ensemble de départ en gros.

Je ne comprends toujours pas trop ce que signifie le max devant. Pourriez vous m'éclairer ?

Cordialement

[invite02232301]

Bon, ce que tu ecris n'a aucun sens.
Ca par exemple,
{f(x)} = {]-1;+infini[U]+infini;-infini[U]+infini;-1[}
qu'est ce que c'est censé vouloir dire?
Sais tu ce qu'est l'antecedant d'un element par une fonction?
Le max d'un (sous) ensemble (de R) c'est le plus grand element de l'ensemble, le max de {1,2} c'est 2, le max de [0,1] c'est 1, le max de [0,1[ n'existe pas.

[gg0]

MiPaMa : voir message #9

Bon courage !

Cordialement.

[Jujulive]

Je voulais montrer les éléments qui composent f(x)...

f(3) = 2, 3 est l'antécédent de 2 par f...

Déjà d'1, tu viens de m'apprendre quelque chose, c'est que le max de [0,1[ n'existe pas , je ne le savais pas.

f^-1 désigne les antécédents de l'ensemble qu'elle englobe. Pour f(x), ce sont les x. Or f est définie pour x appartenant à ]-inf;1[U]1;3[U]3;+inf[

Je n'arrive toujours pas à visualiser le max de ma fonction, composé que d'intervalles ouverts...

Cordialement

[invite02232301]

Ton langage manque cruellement de precision, à dire le moins, et de sens.

Je voulais montrer les éléments qui composent f(x)...

Qu'est ce que ca peut bien vouloir dire?

f(3) = 2, 3 est l'antécédent de 2 par f...

Ca veut dire que 3 est UN antecedant de f par 2, et la nuance est importante.

Déjà d'1, tu viens de m'apprendre quelque chose, c'est que le max de [0,1[ n'existe pas , je ne le savais pas.

Pour l'instant ca n'a pas grande importance.

f^-1 désigne les antécédents de l'ensemble qu'elle englobe

Mais enfin... as tu deja lu vu ou ecrit qqch dit comme ca?
Essaie de mimer le langage mathémtique que tu trouves dans tes livres ou dans ton cours. Ce que tu ecris n'a pas de sens.

Pour f(x), ce sont les x.

Ca aussi qu'est ce que ca veut dire? C'est qui "les x"?
Si tu veux un conseil tu devrais reprendre a la base le vocabulaire de base de la theorie des ensembles, ensemble, elements, appartenance, inclusion, image, image reciproque. Tant que tu n'auras pas fait ça tu ne pourras pas t'attaquer à d'autres exos. Ca ne devrait meme pas te perndre longtemps, c'est une affaire de vocabulaire.
Le vocabulaire en maths, est precis, et il n'y a pas de place dans le discours pour le flou ou l'imagé, il faut absolument que tu rendes ta façon de t'exprimer precise.

Ca t'evitera d'ecrire des trucs du genre

Je n'arrive toujours pas à visualiser le max de ma fonction, composé que d'intervalles ouverts...

Qu'est ce que c'est qu'une "fonction composée d'intervalles"?

[Jujulive]

Bonsoir,

J'ai compris. Il fallait juste me dire que le max de la fonction h désignait l'élément le plus grand entre les deux que contient f^-1((f(x)).

A savoir sur -l'inf à -1, h décroit de 3 à 9/4. Et décroit de + l'infi à 3 toujours. La fonction n'est pas continue en -1 (car un seul élément).

Mais cela fait quand même une fonction étrange.

Merci pour votre aide.

Cordialement