Exercices de topologie
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Exercices de topologie



  1. #1
    Victor.S

    Exercices de topologie


    ------

    Bonjour !
    Je suis à la recherche d'exos sympas en topologie de pré-requis Maths Spé.
    Le "sympa" étant complètement subjectif : que vous trouvez sympa selon vos goûts personnels.

    Je peux donner des exemples d'exos que je trouve sympas par exemple :"F un fermé de C, P un polynôme de C[X], prouver P(F) fermé (et de même pour un ouvert)."
    ou l'exo "u(n+1)-u(n) tend vers 0, a et b deux valeurs d'adhérences, montrer que [a,b] est inclus dans l'ensemble des valeurs d'adhérence de u".

    -----

  2. #2
    joel_5632

    Re : Exercices de topologie

    "soit une suite u telle que u(n+1)-u(n) tend vers 0 et avec deux valeurs d'adhérences a et b distinctes. Montrer que [a,b] est inclus dans l'ensemble des valeurs d'adhérence de u"

    A la première lecture je pensais qu'une telle suite u n'existait pas. Puis en réfléchissant un peu je comprends que la suite peut aller de a vers b puis de b vers a de plus en plus lentement. Je ne serais pas surpris que u(n) = sin(log(n)) convienne pour a=-1 et b=1. Mais pour démontrer que toute valeur entre a est b est une valeur d'adhérence, je ne vois pas.

  3. #3
    Tryss

    Re : Exercices de topologie

    Citation Envoyé par joel_5632
    Mais pour démontrer que toute valeur entre a est b est une valeur d'adhérence, je ne vois pas.
    L'idée c'est de prendre un epsilon, de prendre un rang N tel que pour tout N |u(n+1)-u(n )|<epsilon.

    Ensuite on prend un n0 tel que |u(n0)-a|<epsilon
    Un n1>n0 tel que |u(n1)-b|<epsilon

    Ensuite on découpe [a,b] en Morceaux de taille epsilon, et alors il y a au moins un n entre n0 et n1 tel que u(n) soit dans le morceau

  4. #4
    Seirios

    Re : Exercices de topologie

    Bonjour,

    Je propose l'exercice suivant : Montrer que l'ensemble des valeur d'adhérence d'une suite est fermé dans . Réciproquement, soit un fermé de . Montrer qu'il existe une suite telle que est exactement l'ensemble de ses valeurs d'adhérence.

    Le résultat en fait général, peut être remplacé par n'importe quel espace métrique.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercices de topologie

    Citation Envoyé par Seirios Voir le message
    Bonjour,

    Je propose l'exercice suivant : Montrer que l'ensemble des valeur d'adhérence d'une suite est fermé dans ..
    si adhérence il y a , non ?
    une demo par l'absurde me semble enviseagable.
    à moins que l'ensemble vide soit un fermé de R ( ma mémoire me fait défaut )
    Dernière modification par ansset ; 09/10/2014 à 13h54.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  7. #6
    Médiat

    Re : Exercices de topologie

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    l'ensemble vide soit un fermé de R ( ma mémoire me fait défaut )
    L'ensemble vide est toujours un ouvert et un fermé pour toutes les topologies
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #7
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercices de topologie

    exact, je venais à l'instant de vérifier.
    merci à toi !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  9. #8
    DAREMO

    Re : Exercices de topologie

    Citation Envoyé par Seirios Voir le message
    Montrer que l'ensemble des valeur d'adhérence d'une suite est fermé dans .
    Réciproquement, soit un fermé de .
    Montrer qu'il existe une suite telle que est exactement l'ensemble de ses valeurs d'adhérence.

    Le résultat en fait général, peut être remplacé par n'importe quel espace métrique.
    Non.
    Soit E un ensemble infini non dénombrable, muni de sa topologie discrète (elle est métrisable : d(x,x)=0 ; d(x,y)=1 si x≠y), et soit F=E.
    Il n'existe aucune suite dont l'ensemble des valeurs d'adhérence soit F…

  10. #9
    Tryss

    Re : Exercices de topologie

    Citation Envoyé par DAREMO Voir le message
    Non.
    Soit E un ensemble infini non dénombrable, muni de sa topologie discrète (elle est métrisable : d(x,x)=0 ; d(x,y)=1 si x≠y), et soit F=E.
    Il n'existe aucune suite dont l'ensemble des valeurs d'adhérence soit F…
    Très bonne remarque : il faut que l'espace soit séparable

  11. #10
    Seirios

    Re : Exercices de topologie

    Effectivement, un petit oubli de ma part. Merci d'avoir corrigé
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  12. #11
    DAREMO

    Re : Exercices de topologie

    Citation Envoyé par Seirios Voir le message
    Effectivement, un petit oubli de ma part. Merci d'avoir corrigé
    Pas de quoi… (ça arrive à tout le monde).

    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    Très bonne remarque : il faut que l'espace soit séparable
    Il faut, il faut…
    Heu, il suffit, plutôt ?

  13. #12
    minushabens

    Re : Exercices de topologie

    Sauf si on peut montrer que si E est tel que tout fermé de E est l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite de E alors E est séparable : exercice pour la semaine prochaine!

  14. #13
    DAREMO

    Re : Exercices de topologie

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    Sauf si on peut montrer que si E est tel que tout fermé de E est l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite de E alors E est séparable : exercice pour la semaine prochaine!
    Oui, c'est ce que je me suis dit aussi (mais là ça dépasse mes compétences ; quoi que… en se mettant à chercher, on ne soit pas à l'abri d'une bonne surprise ).

  15. #14
    minushabens

    Re : Exercices de topologie

    ça me semble assez plausible en fait. Si j'interprète "séparable" comme "pas trop gros", ça va bien avec le fait que les valeurs d'adhérence des suites couvrent l'ensemble des fermés. mais bon, c'est loin d'être une preuve...

  16. #15
    Tryss

    Re : Exercices de topologie

    La réciproque est "triviale" : soit Un une suite qui a pour valeurs d'adhérence E, alors {Un} est un sous ensemble dénombrable dense de E: l'espace E est séparable

  17. #16
    minushabens

    Re : Exercices de topologie

    ah ben oui. Comme quoi ça peut être utile de mettre son cerveau en marche le matin...

  18. #17
    DAREMO

    Re : Exercices de topologie

    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    La réciproque est "triviale"
    Ouuuuups !
    Bien vu (et c'est là qu'on a envie de disparaître dans un trou de souris…).
    Dernière modification par DAREMO ; 25/10/2014 à 08h27. Motif: Espace insécable qui se tranforme en étoile :-(

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