Application linéaire: trouver ker f

[betterfly404]

bonjour, j'ai du mal à répondre à une question de mon exercice,
besoin d'une petite indication: please et merce d'avance.

Enoncé:

" dans (R) on définit f(M)=M-^tM.

on note S l'ensemble des matrices symétriques de (R).

S=

a b
b c (a,b,c ) appartenant à R³
(désolé pour l'écriture MATRICIELLE de S);
1) montrer que f est un endomorphisme de (R)
2) établir que ker(f)=S, en déduire une base de ker f.
3) on note B= (c'est quatre matrices 2-2 )

1 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
déterminer la matrice de f dans B.

4) trouver im f ainsi qu'une base de im f.



je me suis arrêtée à la question une car je n'arrive pas à faire la deux.


1) j'ai trouvé que f est bien un endomorphisme

soient a et b deux réels et M et N deux matrices :


f(aM+bN)= (aM+bN) - ^t(aM+bN)

= (aM+bN) -(a ^tM + b ^tN)

= aM - a ^tM + bN - b ^tN

= a(M- ^tM) + b (N- ^tN) = af(M) + bf(N) , f est linéaire donc f est un endomorphisme de M₂(R)



je me suis arrêtée là car je ne sais pas comment faire la question deux, à vrai dire je ne vois pas comment montrer que ker f =S
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[gg0]

Bonjour.

Il te suffit de faire comme d'habitude, avec la définition de ker. On obtient immédiatement le résultat.

Cordialement.

NB : Une matrice symétrique est égale à sa transposée. C'est même la définition !

[betterfly404]

désolé mais je ne vois pas du tout comment

j'ai fais M*(X)-^tM*(X) = 0 et n'abouti pas au résulta

[minushabens]

Ben déjà montre que tout élément de S est dans le noyau. Ca c'est très facile.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

S=

a b
b c (a,b,c ) appartenant à R³
(désolé pour l'écriture MATRICIELLE de S);

C'est pourtant facile :

[betterfly404]

comme M est une matrice 2-2

j'ai pris X une matrice 2-2 également composé de quatre coordonnées

x y

z t


M=


a b

c d

et tM=

a c


b d

je trouve

ax+ bz - ax -cz =0

cx+dz - bx - dz=0

ay+bt - ay - ct =0

cy+ dt- by- dt=0

les a et d partent donc je ne vois pas comment tous les éléments peuvent être dans le noyau vu que le a s'annule.

[betterfly404]

c'est sans doute facile mais moi je du mal avec ce chapitre où tous se ressemble. désolé si je suis dans les choucroutes c'est pour ça que je demande de l'aide

[Médiat]

Je vous répondais sur la forme ; vous écriviez "désolé pour l'écriture", et pourtant vous n'utilisez pas le moyen que je vous ai donné dans mon message précédent ...

Essayez de ré-écrire correctement votre dernier message et vous aurez sans doute plus de réponses.

[betterfly404]

je ne sais pas utiliser le latex? et je ne vois même pas où est le mode d'emploi.
autant pour moi.
pourtant j'ai essayé d'écrire de façon clair est spacieuse. mai bon tant pis si personne ne répond.

[Médiat]

Appuyez sur le bouton "Répondre avec citation" de mon message #6, et vous verrez le code suivant :

[TEX]S = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c\end{pmatrix} \quad (a, b, c) \in {\mathbb R}^3[/TEX]

Vous pouvez consulter un mode d'emploi : http://forums.futura-sciences.com/fo...e-demploi.html

[minushabens]

que vient faire X dans ce problème?

[Samuel9-14]

J'ai la flemme de relire tout en détail mais il me semble quand même que betterfly404 ne sait pas que pour montrer l'égaltié de deux ensembles, il suffit de montrer une double inclusion.
Ici, tu prends un élément de S, tu montres qu'il appartient à ker f.
Tu prends un élément de ker f, et tu montres qu'il appartient à S. Je n'ai pas l'impression que c'est ce que tu as fait... (mais je me trompe peut-être).

[betterfly404]

j'essaie juste de trouver le noyau, en m'appuyant sur la définition du cours

[Samuel9-14]

Ici on c'est plus simple !
On te demande l'égalité de deux ensembles, alors pour le moment ton seul réflexe : double inclusion !
Alors soit x appartenant a S, montrons qu'il appartient a ker f
Soit y appartenant a ker f, montrons qu'il appartient a S !

[betterfly404]

bon merci à tous

[Colaser]

A mon avis t'as simplement oublié que par définition une matrice symétrique c'est M=tM
Donc si M est symétrique M-tM=0, c-a-d f(M)=0 donc M appartient à Ker f.
Donc S inclus dans Ker f
Et si M appartient à Ker f, f(M)=0 c-a-d M-tM=0 donc M=tM c-a-d M symétrique.
Donc Ker f inclus dans S, d'où l'égalité.
Le fait qu'on soit dans M2 est sans importance sur ce point.
Et évite les confusions, il n'y a pas de X ici...

[Samuel9-14]

Et voilà, il a obtenu la réponse qu'il voulait. pas sûr qu'il ait tout compris.

[betterfly404]

Elle, pas il

je ne cherchais pas à ce que l'on me livre tout sur un plateau, monsieur Samuel. j'ai des difficultés c'est pour cela que j'ai demandé de l'aide.




et merci pour vos explications Colaser , comme on m'a demandé de calculer ker(f) comme on le fait habituellement, j'ai donc essayé la méthode du cours;
avec un système qui s'annule pour pouvoir trouver ker f . ( je sais, je n'ai pas la logique mathématique). Dans ce cas précis, comme vous l'expliquez

il n'était pas nécessaire de faire ce calcul.

cordialement!

[gg0]

Je ne sais pas ce que tu appelles "la méthode du cours", probablement une pure imitation d'un exemple que tu n'as pas compris car pas relié à la définition de ker f.
Il ne sert à rien d'imiter bêtement. Et c'est bien plus difficile d'imiter intelligemment que d'apprendre les définitions et théorèmes et d'essayer de s'en servir (et de lire les exemples pour voir où est utilisée la définition).

Si tu avais fait ce que je te proposais hier, tu aurais tout de suite trouvé :

M appartient à ker(f) si et seulement si f(M)=0
Donc si et seulement si M-tM=0
Donc si et seulement si M=tM
Donc si et seulement si M est symétrique.

Pas besoin de copier quoi que ce soit dans le cours, seulement la définition de ker (qu'il faut que tu apprennes).

Alors, et si tu décidais d'agir intelligemment, puisque tu es intelligente ?

[betterfly404]

merci de m'avoir expliqué les choses clairement.
j'avoue que j'ai essayé d'imiter un exemple que l''on a fait en cours,

mais merci beaucoup en tout cas d'avoir pris le temps de m'aider.