L'algebre bilineaire

[omoumi]

slt,svp j ai une question sur l algebre bilineaire bon je veux savoir pourquoi si la matrice associe a une forme bilineaire b est inversible donc la forme bilineaire b est non degeneree ??
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[geometrodynamics_of_QFT]

tentative de traduction :

Soit la matrice associée à une forme bilinéaire
Pourquoi " est inversible est non dégénérée" ?

intuitivement, b est un polynome quadratique en x et y? (est-ce que c'est une forme quadratique?)
je ne sais plus, mais je dirais que si b est dégénérée, elle est sûrement telle que plusieurs valeurs différentes en entrée peuvent donner la même sortie, ou un truc du style...

du coup, comme on sait qu'une matrice n'est inversible que quand son rang est maximal, quand on représente la forme bilinéaire sous forme matricielle, son caractère (non-injectif ou truc du style) fera que son rang n'est plus maximal...

cqfd?

[geometrodynamics_of_QFT]

A noter que je n'ai pas démontré, mais essayé d'expliquer pourquoi, conformément à la question initiale (pour ma défense concernant mon manque de rigueur)

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

J'ai presque envie de dire que c'est vrai par définition: une forme quadratique est non-dégénérée s'si* le noyau de la matrice qui lui est associé est réduit à zéro, c'est-à-dire s'si la matrice est inversible (il est vrai que le lien entre noyau réduit à zéro et l'inversibilité se démontre).

Petite remarque pour geometrodynamics_of_QFT: une forme quadratique à n variables est un polynôme quadratique en n variables, l'inverse est cependant faux.

est une forme quadratique.
est un polynôme quadratique.

*s'si: si et seulement si

[A voir en vidéo sur Futura]

[geometrodynamics_of_QFT]

Merci pour cette remarque. donc une forme bilinéaire est une forme sous-entendue quadratique à 2 variables...
Donc :
est inversible (ou ) est non dégénérée

[geometrodynamics_of_QFT]

une forme bilinéaire est une forme sous-entendue quadratique à 2 variables...

Je voulais bien sûr dire : "une forme bilinéaire (sous-entendue quadratique) est une forme quadratique à 2 variables..."

[Paraboloide_Hyperbolique]

Je voulais bien sûr dire : "une forme bilinéaire (sous-entendue quadratique) est une forme quadratique à 2 variables..."

Je suppose que vous vouliez dire qu'une forme quadratique est de degré 2 ? Car elle est en général à n variables (n entier strictement positif), comme vous pouvez le lire dans l'expression de Q (ou P) que j'ai donnée au message #4.

[geometrodynamics_of_QFT]

Oui, quand on dit "une forme bilinéaire", on parle d'une forme quadratique à n=2=bi variables.

on "sous-entend" donc qu'elle est quadratique, mais on ne le dit pas explicitement dans l'expression "forme bilinéaire"...

[Amanuensis]

Oui, quand on dit "une forme bilinéaire", on parle d'une forme quadratique à n=2=bi variables.

Non. Confusion entre applications sur des éléments d'espaces vectoriels et polynômes réels (ou sur le corps de base). Issue vraisemblablement d'une confusion entre un vecteur et sa représentation dans une base.

Un fois une base choisie (ou plutôt deux bases choisies), une forme bilinéaire est représentée par un polynôme homogène de degré 2 appliqué aux composantes des vecteurs dans les bases. Il s'agit d'une représentation, pas d'une identité de concept.

[geometrodynamics_of_QFT]

Non. Confusion entre applications sur des éléments d'espaces vectoriels et polynômes réels (ou sur le corps de base). Issue vraisemblablement d'une confusion entre un vecteur et sa représentation dans une base.

Je ne comprends pas bien..
Comme Paraboloide_Hyperbolique l'a dit : on distingue une forme quadratique, d'un polynôme quadratique. Et quand je dis par conséquent "forme bilinéaire et quadratique en n variables", je ne parle pas de polynômes...et les variables sont les x^ix^j? la dimensions de sa base est n(n-1)? (les a_ij?)
Et qu'elle peut se représenter sous une forme matricielle B qu'on associe à la forme bilinéaire b.

je n'ai pas parlé de sa représentation par un polynôme...(distincte de sa représentation matricielle..?), et par conséquent ne vois pas de manière limpide d'où vient la confusion que vous évoquez...?

[invite02232301]

Bonjour,
UNe forme quadratique c'est une forme bilinéaire symétrique.

Pour la question de base, c'est quasiment tautologique, une forme bilinéaire est degenérée (à gauche) s'il existe x tel que f(x,.) soit la forme linéaire nulle. Cela signifie que l'applicartion E->E^* donnée par x->f(x,.) est non injective. Mais la matrice de cette application dans une base de E et sa base duale est exactement la matrice de la forme bilinéaire f dans la base de E choisie, celle ci ne saurait etre inversible donc. Pour la réciproque, meme topo.