Fonction intégrable sur R
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Fonction intégrable sur R



  1. #1
    Coban

    Fonction intégrable sur R


    ------

    Bonjour,
    peut on dire que si f est continue et que
    et
    alors f est intégrable sur R?
    Si oui, quels sont les arguments?
    Si non, avez vous des contres exemples?

    Merci de vos réponses,

    Coban

    -----

  2. #2
    minushabens

    Re : Fonction intégrable sur R

    Une fonction continue est nécessairement mesurable. Tu te demandes si l'intégrale est finie? La condition sur les limites n'est ni suffisante ni nécessaire.

  3. #3
    Coban

    Re : Fonction intégrable sur R

    Oui, je me demandais si l’intégrale est finie.
    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    La condition sur les limites n'est ni suffisante.
    pourquoi?
    avez vous un contre exemple?

  4. #4
    Seirios

    Re : Fonction intégrable sur R

    Bonjour,

    Tu peux construire une fonction avec des pics d'aire en chaque entier , et nulle ailleurs. Alors . Si tu prends des pics de hauteur constante, ta fonction n'aura pas de limite en . Ensuite, pour trouver une fonction avec limites nulles en les infinis mais avec une intégrale infinie, tu bricoler quelque chose avec la fonction .
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Fonction intégrable sur R

    Bonjour.



    Cordialement.

  7. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Fonction intégrable sur R

    A savoir :

    La condition "limite à l'infini nulle" n'est pas non plus nécessaire. Des fonctions continues qui n'ont pas de limite à l'infini, peuvent avoir une intégrale finir sur R.

    [édit : C'est ce qu'a montré Seirios. Qui répond à une autre question que la tienne. Salut Seirios !]
    Dernière modification par gg0 ; 16/12/2014 à 17h06.

  8. #7
    Coban

    Re : Fonction intégrable sur R

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Bonjour.



    Cordialement.
    non, ta fonction est impaire et du coup son intégrale sur R est nulle.
    Je ne veux pas savoir si la conditions des limites nulles aux infinis et nécessaire mais si elle est suffisante pour que l’intégrale sur R soit finie.

  9. #8
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Fonction intégrable sur R

    Tu devrais revoir la définition d'une intégrale sur R (quelle que soit ta forme d'intégrale). Si ta définition dit qu'une fonction impaire a une intégrale nulle, donne-la, je m'inclinerai. mais il aurait fallu préciser au départ. En général, ce n'est pas le cas.

    Si ma fonction ne te va pas, mets-la en valeur absolue.
    Dernière modification par gg0 ; 16/12/2014 à 17h35.

  10. #9
    Seirios

    Re : Fonction intégrable sur R

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    La condition "limite à l'infini nulle" n'est pas non plus nécessaire. Des fonctions continues qui n'ont pas de limite à l'infini, peuvent avoir une intégrale finir sur R.

    [édit : C'est ce qu'a montré Seirios. Qui répond à une autre question que la tienne. Salut Seirios !]
    C'est vrai, mais dans la deuxième partie de ma réponse, je réponds bien à la question de l'auteur En fait, je rebondissais surtout sur la réponse de minushabens.

    Pour être plus précis, on peut définir une fonction paire en l'égalant à sur et à sur . Ses limites en les infinis sont bien nulles, mais son intégrale est infinie.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  11. #10
    Seirios

    Re : Fonction intégrable sur R

    Citation Envoyé par Coban Voir le message
    non, ta fonction est impaire et du coup son intégrale sur R est nulle.
    Je ne veux pas savoir si la conditions des limites nulles aux infinis et nécessaire mais si elle est suffisante pour que l’intégrale sur R soit finie.
    Tu remarqueras que mais que . C'est un indice fort pour montrer que l'intégrale sur n'est pas définie.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  12. #11
    Coban

    Re : Fonction intégrable sur R

    Citation Envoyé par Seirios Voir le message
    ha bon?
    l’intégrale de -n à n+1 n'est pas : ? et du coup ça tend vers 0 non?

  13. #12
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Fonction intégrable sur R

    Et ta définition de l'intégrale sur R ?

    NB : Seirios peut facilement rectifier sa proposition en prenant de -n à n².

  14. #13
    Coban

    Re : Fonction intégrable sur R

    pour moi, l’intégrale sur R de f c'est non?

  15. #14
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Fonction intégrable sur R

    Ok.

    Ce n'est pas la définition habituelle (limites finies en + et - oo) pour une intégrale généralisée. Dans ce cas, mon exemple avec une valeur absolue sur le x du numérateur te convient.

    Cordialement.

    NB : méfie-toi de cette définition très restrictive.

  16. #15
    Coban

    Re : Fonction intégrable sur R

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Ok.
    Dans ce cas, mon exemple avec une valeur absolue sur le x du numérateur te convient.
    oui,
    c'est quoi la définition habituelle?

  17. #16
    Seirios

    Re : Fonction intégrable sur R

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    NB : Seirios peut facilement rectifier sa proposition en prenant de -n à n².
    Merci d'avoir rectifié le tir
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  18. #17
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Fonction intégrable sur R

    Citation Envoyé par Coban Voir le message
    oui,
    c'est quoi la définition habituelle?
    Convergence en +oo, et indépendamment en -oo..

    Cordialement.

  19. #18
    chris-034

    Re : Fonction intégrable sur R

    Soit la fonction , définie sur R tout entier.
    En et , cette fonction tends vers 0, vaut 1 en 0 et est continue.

    Son intégrale sur R vaut : ; soit par symétrie :

    Or la primitive de vaut , définie sur R+ mais tends vers en .

    On a donc une fonction continue qui tends vers 0 en et , mais dont l'intégrale n'est pas définie.

    Le problème de l'énoncé est que la définition de la continuité est trop large; cela pourrait marcher dans le cas d'une fonction k-lipschitzienne, mais je n'en suis pas sûr.
    Dernière modification par chris-034 ; 22/12/2014 à 19h10.

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