Reste d'une série, versus rayon de convergence

[Lévesque]

Bonjour,

je me demande: si on s'intéresse à la convergence d'une série, dans quels conditions devrait-on étudier le rayon de convergence et dans quelles autres devrait-on étudier le reste de la série?

Par exemple, il suffit de montrer que le rayon de convergence d'une série est non-nul pour montrer qu'elle converge. Non?

Alors, à quoi bon vérifier que, si on coupe une série à l'ordre N, la borne du reste vérifie l'inégalité ?

Est-ce que les critères sont équivalents?

Merci!

Simon

[GuYem]

Salut

Déjà on ne parle de rayon de convergence que dans le cas des séries entières.

Ensuite si le rayon de convergence est non nul alors on obtient de la convergence certes, mais seulement sur le disque de convergence ! ( qui porte bien son nom n'est-il-pas ? )

Enfin une majoration du reste peut être intéressante pour s'intéresser à la convergence uniforme sur le disque de convergence fermé, ce qui n'est nullement automatique.

En espérant ne pas avoir répondu trop à coté, tes questions étant un peu diffuses

[Lévesque]

Salut

Déjà on ne parle de rayon de convergence que dans le cas des séries entières.

J'avais l'impression que justement, une série entière sur un domaine D (qui a donc forcément un rayon de convergence non-nul) DEVAIT avoir, si on tronque cette série, un reste qui respecte l'inégalité à laquelle je fais référence.

Ensuite si le rayon de convergence est non nul alors on obtient de la convergence certes, mais seulement sur le disque de convergence !

Je suis bien d'accord!

Enfin une majoration du reste peut être intéressante pour s'intéresser à la convergence uniforme sur le disque de convergence fermé, ce qui n'est nullement automatique.

J'avais dans l'idée que d'étudier le reste pouvait nous renseigner sur la convergence de la série, tout comme d'étudier le rayon de convergence.

Si tout ce qui m'intéresse, c'est, pour une série donnée, de montrer que celle-ci converge sur un certain domaine, qu'est-ce qui peux m'influencer dans mon choix entre utiliser le critère du reste ou le rayon de convergence? En d'autres mots, si, par l'étude du rayon de convergence, j'obtiens ET le domaine convergence, ET la certitude que la série converge sur ce domaine, à quoi peut me servir de vérifier le critère du reste?

Une piste de réponse: 1. il est parfois impossible de trouver le rayon de convergence (qui se calcule avec un passage à la limite)? 2. On peut vouloir utiliser une méthode de resommabilité, laquelle nécessite qu'on étudie le reste pour valider son applicabilité?
Je ne sais pas vraiment...

la convergence uniforme sur le disque de convergence fermé, ce qui n'est nullement automatique

Cela n'est pas clair pour moi...

Merci pour l'aide,

Simon

[Lévesque]

Je viens de trouver ça:


Soit f : D(R)→C, où R est le rayon de convergence et R≠0, et supposons que la n-ième dérivée de f évaluée à z=0 existe pour tout n supérieur à 0. Si le reste est borné (tel que respectant le critère de mon premier message), alors f est analytique dans D(R) et peut être représentée par une série entière.
Donc, étant donné une fonction f définie sur un disque D(R) à valeur complexe, on commence par étudier le reste de sa série de Taylor et, si celui-ci satisfait la dite condition, alors on peut affirmer
1- f est analytique dans D(R)
2- f peut être développé en série de Taylor autour de l'origine.

Mais, si j'ai une fonction f, que je connais son rayon de convergence, et que f est définie sur un disque plus petit que le rayon de convergence, je peux tout aussi bien (?) conclure:
1- f est analytique dans D(R)
2- f peut être développé en série de Taylor autour de l'origine.

non?

J'espère que ça se précise...


Simon
PS: le sigma du critère est l'inverse du rayon de convergence.

[Lévesque]

Bon, j'ai lu pas mal depuis tantot, et j'ai vraiment l'impression que l'étude du reste a seulement un lien avec les technique de resommabilité (Borel, Loeffel) et pour certains critères relatifs à ces techniques (théorème de Watson).
Si le critère que je donne sur le reste est respecté, on a une série convergente (rayon de convergence non-nul) et donc cette série peut représenter une fonction.
Pour un critère un peu plus permissif (ajout d'un n! dans le critère), on a des séries qui ne convergent pas (rayon de convergence nul), mais qui sont resommables: on fait une transformation B pour obtenir une série convergente, et on trouve la continuation analytique de la série de départ. La continuation analytique nous permet de trouver de l'info sur la série (avec peu de terme).

Simon