Démonstration de théorème

[bbdoll]

Bonsoir,
J' ai égaré une partie de mon cour sur les suites() où il y' avait des théorèmes que je voulais apprendre .
Je voulais savoir si vous pouviez me donner l' énoncé et les démos de ces théorèmes s' il vous plaît?
(c'est dans le chapitre des suites): critère spécial des suites monotones, limite des suites extraites et théorème des segments emboîtés)

[lolouki]

Il faudrait en dire un peu plus lol ^^
Moi je suis en L1 j'ai fait un cours sur les suites ... il y a bcp de demos !!
va voir ds la bibliotheque de cours, tu trouveras ce sue tu cherches je pense

[nissart7831]

Oui, regarde dans la bibliothèque FSG de maths. Il y a aussi sur le web des sites de maths qui exposent les théorèmes et leurs démonstrations.
Mais en premier, regarde dans ton bouquin de maths ou un autre.

[supernico999]

Oui il faudrait en effet en dire un peu plus pour qu'on t'aide...
Mais voici quand même quelques propositions: (je considère les suites réelles)
- Une suite monotone converge dans R ou diverge vers plus ou moins l'infini.
- Si une suite converge vers l, alors toute suite extraite converge vers l
- Toute suite bornée a une valeur d'adhérence dans R (ie il existe une suite extraite qui converge)
- Si In est une suite de segments emboités non vides dont le diamètre tend vers 0, alors l'intersection des In pour n décrivant N est un singleton.

Et pour les démos, j'ai pas le courage

[bbdoll]

Ok merci, je trouve rien sur internet, en fait c' est trop compliqué, on ne l' avait pas vu comme ça. Mais votre première définition me parle plus "Une suite monotone converge dans R ou diverge vers plus ou moins l'infini.
- Si une suite converge vers l, alors toute suite extraite converge vers l" Je comprend que vous soyez fatigué, mais en fait les démos m' interessaient plus, c' est pas grave. Je vous remercie quand même.

[bbdoll]

Ok merci, je trouve rien sur internet, en fait c' est trop compliqué, on ne l' avait pas vu comme ça. Mais votre première définition me parle plus "Une suite monotone converge dans R ou diverge vers plus ou moins l'infini.
- Si une suite converge vers l, alors toute suite extraite converge vers l"

[matthias]

Tu peux nous rappeler ton niveau bbdoll ? Ce sera plus facile pour cibler les théorèmes et donner des démonstrations compréhensibles.

[bbdoll]

ok, je suis en première année de prépa pcsi. Mais je l' ai mis.

[lolouki]

"- Si une suite converge vers l, alors toute suite extraite converge vers l"
Pour cette démonstration tu utilises tout simplement la defnition de la limite.

Soit e>0,tu as un rang Ne telque si n>=Ne alors |Un- L|<e

Or une sous suite est de la forme Us(n) avec s(n) une application strictement croissante croissante de N ds N.

donc : n>Ne =>s(n)> s(Ne)

Or s(n)>=n (lemme d'une application croissante)
donc S(n)>Ne et |Us(n)- L |<e.

J'espere avoir été clair

[homotopie]

La plupart de ces résultats sur les suites réelles repose sur le fait que R est complet.
Je suppose admis (ou plutôt déjà démontré) le fait que R est complet : toute suite de Cauchy réelle converge.
Le théorème des suites adjacentes :
Si 1) suite croissante, suite décroissante
2)
3)
alors convergent vers une même limite l.

Preuve :
est une suite de Cauchy :
Pour n et p, on a donc
Donc

converge donc vers une limite l.

converge vers l, en effet :
pour n, on a or les deux suites et convergent vers 0.

Le théorème des segments emboîtés s’en déduit immédiatement. L’équivalence est évidente.
Théorème des suites adjacentes -> théorème des segments emboîtés On prend pour les bornes de ces segments
théorème des segments emboîtés-> Théorème des suites adjacentes On prend comme segments .

Toute suite bornée admet au moins une valeur d’adhérence.
Preuve :
Soit m un minorant et M un majorant. On pose et , s(0)=0, L=M-m.
On a ; et contient une infinité de termes de la suite

Supposons que l’on ait pu construire , , jusqu’à un rang m tels que :
et contienne une infinité de termes de la suite pour tout ,
de plus pour tout

On considère i le milieu de ,
Si contient une infinité de termes de la suite , on pose et
Sinon contient une infinité de termes de la suite (car l’union des deux segments et en contient une infinité) , dans ce cas on pose et
On vérifie facilement que les hypothèses de récurrence sont vérifiées.

On a ainsi construit deux suites adjacentes et (ou des segments emboîtés) qui convergent vers une certaine limite l.
On pose s(0)=0
Pour chaque n, on pose s(n)=min (k>s(n-1) ; est dans ).
C’est bien défini car il y a une infinité de termes vérifiant la seconde condition et la première n’en retire au plus qu’un nombre fini. s est strictement croissante par construction donc est une suite extraite.
est une suite encadrée par les deux suites adjacentes donc converge vers l.

Pour la converge des suites croissantes bornées, la seule difficulté est de montrer l’existence de la borne supérieure (à moins que cela ne soit déjà fait). Cela peut se faire avec le théorème des suites adjacentes. Ce dernier pouvant se montrer en utilisant l’existence de la borne supérieure…
A un moment on tourne en rond car toutes ses propositions sont équivalentes à R complet, et c’est alors affaire de goût, voir d’humeur : après avoir pris un point de départ dans son enseignement pendant 2, 3 ans on a certainement envie de changer l’année suivante… ton prof a peut-être (certainement) utilisé une autre méthode pour montrer ces différents théorèmes.

[fderwelt]

Bonjour,

(pour homotopie principalement, mais aussi pour la culture générale)

Ça c'est amusant. Parce que R est justement construit pour être complet (cf. coupures de Dirichlet p.ex.). En fait, c'est le complété de Q pour la topologie usuelle (qui n'est pas la seule possible: comme je dis souvent, il y en a une infinité dénombrable, plus une, "la" usuelle).

Je trouve limite malhonnête de munir R de la topologie induite par les intervalles ouverts, pour ensuite "s'apercevoir", ô miracle, qu'il est complet... mais après tout, la fin justifie les moyens, non?

-- françois

[matthias]

L'utilisation des réels ayant précédé la construction rigoureuse de R et la topologie, je ne trouve pas la démarche particulièrement malhonnête.

[homotopie]

Bonjour,

(pour homotopie principalement, mais aussi pour la culture générale)

Ça c'est amusant. Parce que R est justement construit pour être complet (cf. coupures de Dirichlet p.ex.). En fait, c'est le complété de Q pour la topologie usuelle (qui n'est pas la seule possible: comme je dis souvent, il y en a une infinité dénombrable, plus une, "la" usuelle).

Je trouve limite malhonnête de munir R de la topologie induite par les intervalles ouverts, pour ensuite "s'apercevoir", ô miracle, qu'il est complet... mais après tout, la fin justifie les moyens, non?

-- françois

Bonjour,

Il y a une définition de R : c'est l'unique corps archimédien complet.
Il y a deux voies possibles pour construire R : les coupures de Dirichlet et le quotient des suites de Cauchy rationnelles par les suites convergentes vers 0.
La construction de R doit encore être au programme de 1ère année post bac, ainsi que la définition exacte de R. (A vérifier)
Quand ceci est fait, il n'y a donc rien de "malhonnête". On a construit R pour qu'il en soit ainsi explicitement, on ne découvre donc pas qu'un "miracle" a eu lieu.

D'autre part, pour ce type de corps, complet (base de la construction par les suites de Cauchy) est équivalent au th d'existence de la borne sup des ensembles majorés non vides (base de la construction par les coupures), du th des segments emboîtés ou des suites adjacentes, au th d'existence d'une limite des suites monotones bornées...
Certains étudiants ne comprennent pas ou mal la construction de R (ils savent quand même que R est construit pour être complet). Ils sont par contre la plupart du temps capables de comprendre le fait que "R n'a pas de trous" (ce que de nombreux th. d'existence illustre d'une façon ou d'une autre).

Pour compléter ce qui concerne Q, il y a la distance usuelle, les p-évaluations. Les structures topologiques, invariantes par translation sinon pourquoi parler de Q et pas de N, sont toutes des patchworks de celles-ci.
Il y a ainsi une infinité (dénombrable?) de complétion de Q. Analytiquement une seule est réellement intéressante (l'usuelle) mais algébriquement toutes le sont.

[matthias]

La construction de R doit encore être au programme de 1ère année post bac, ainsi que la définition exacte de R. (A vérifier)

Non je ne crois pas. Ni même en deuxième année post bac d'ailleurs ...

[Bloud]

Je confirme, la construction et la définition de R ne sont plus au programme de première ou deuxième année post-bac.