Equation differentielle
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Equation differentielle



  1. #1
    mona123

    Equation differentielle


    ------

    bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider à resoudre ce problem:
    Considérons un problème de valeur initiale pour l'équation de transport avec une source non linéaire
    u_t - u_x = u^2
    x ∈ R, t> 0,
    u (x, t= 0) = g (x).
    Où g (x) est fonction continue non négative avec dérivée continue qui atteint son maximum en un seul point x = 0 et g (0) = 1.
    a) résoudre le problème de la valeur initiale.
    b) Montrer que la solution devient illimitée en temps fini et donc la solution pour le problème n' existe que sur
    un intervalle de temps fini. Trouver l'intervalle maximal d'existence.
    c) Trouver de coordonnées d'un point (x *, t *) à laquelle la solution de ce problème devient illimitée
    en effet la semaine prochaine j'ai an examen en équation différentielle c'est pour cela j'ai besoin de la correction
    j’ai essayer avec la premiere question et j’ai trouver
    u(x,t)= g(x+t)/(1-tg(x+t))
    ma reponse est t-elle vrai ?
    si elle est vrai ,pouvez vous m’aider à terminer la suite?merci d'avance

    -----

  2. #2
    polf

    Re : Eqution differentielle

    Bonjour,
    Qu'entendez-vous par u_t - u_x = u^2 ?
    Ne me dîtes pas que je me trompe, dîtes moi quelle est la bonne réponse !

  3. #3
    mona123

    Re : Eqution differentielle

    bonjour
    je veut dire
    [u][/t] − [u][/x] = [u][/2]

  4. #4
    polf

    Re : Equation differentielle

    u(x,t)= g(x+t)/(1-tg(x+t)) est en effet l'unique solution pour a)
    je regarde la suite
    Ne me dîtes pas que je me trompe, dîtes moi quelle est la bonne réponse !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    polf

    Re : Equation differentielle

    b)
    0 =< g(t) =< 1

    donc :
    0 =< g(x+t) =< 1

    Si 0=<t<1 : 0 =< g(x+t)/(1-tg(x+t)) =< 1/(1-t)
    Si t=<0 : 0 =< g(x+t)/(1-tg(x+t)) =< 1

    u(x,t) diverge en 1-tg(x+t)=0 <-> g(x+t)=1/t

    Si x=-1 et t=1 : g(x+t)= g(0)=1=1/t
    Quel que soit g, g diverge en t=1 (et x=-1)
    x € R , t € ]-oo,1[ est aussi l'interval maximal de définition
    Dernière modification par polf ; 21/01/2015 à 14h11.
    Ne me dîtes pas que je me trompe, dîtes moi quelle est la bonne réponse !

  7. #6
    polf

    Re : Equation differentielle

    c) point (x,t)=(-1,1)
    Ne me dîtes pas que je me trompe, dîtes moi quelle est la bonne réponse !

  8. #7
    mona123

    Re : Equation differentielle

    salut Polf
    merci pour ta reponse
    pouvez vous m'expliquer pourqoui x € R , t € ]-oo,1[ est aussi l'interval maximal de définition
    merci

  9. #8
    polf

    Re : Equation differentielle

    C'est parce que :

    Si 0=<t<1 : 0 =< g(x+t)/(1-tg(x+t)) =< 1/(1-t)
    Si t=<0 : 0 =< g(x+t)/(1-tg(x+t)) =< 1

    inégalités qui sont valables pour tout x €R
    Ne me dîtes pas que je me trompe, dîtes moi quelle est la bonne réponse !

  10. #9
    mona123

    Re : Equation differentielle

    polf
    dans l'ennoncé de l'exercice on nous a dit que t>0
    donc pourquoi vous avez etudier le cas t inferrieur à 0
    et pourquoi on n'a pas etudier le cas si t est superieure à 1?

  11. #10
    polf

    Re : Equation differentielle

    On peut en effet ignorer le cas t<0, je n'avais pas pris cela en compte.
    Pour t>1, l'énoncé ne s'y intéresse pas.

    Si on voulait voir ce que serait u(x,t) pour t>1, la condition u(0,0)=1 ne serait plus vérifiée, et la partie à droite de t=1 aurait pour forme :
    u(x,t)=g(a.(x+t))/(1-t.g(a.(x+t))) avec a constante à déterminer.
    Ne me dîtes pas que je me trompe, dîtes moi quelle est la bonne réponse !

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