petit problème sympathique..

[kevin07]

bonjour
Je suis soumi à un problème..assez étrange, que nos professeurs appelent, " à prise d'initaitive " je suis donc en terminale S..


J'ai eu beau essayer je ne vois pas comment l'aborder..

l'enoncé est le suivant..
On cherche un réel 'a' sur lintervalle O; +oo ( + l'infini)
tel que la droite d'équation x=a coupe les courbes M et N ( qui correspondent aux courbes exponentielle de x et logarithme neperien de x )

On veut donc que la distance MN soit la plus petite possible..

Voila TOUT mon ennoncé...

ah c'est pour moi difficile car je ne trouve pas de méthode pour commencer, j'ai bien essayé avec une fonction f(x) = exp (x) - ln(x)
en essayant apres de la derivée.. mais non je ne trouve rien de bon, pouvez vous m'aider svp dans ce problème de ahute difficultée pour moi et peut etre au combien facile pour vous ?

[kevin07]

en fait j'ai continuer un tout petit peu, on doit donc chercher la dérivée =0

et f'(x) = exp(x) - 1/x

Donc exp(x) - 1/x =0 ---> exp(x) = 1/x
---> x exp(x) = 1

mais je bloque la je dois faire comment s'il vous plait ?

[.:Spip:.]

a mon avis, le pb que tu as, c'est que une fois que tu as derivé, tu ne trouves aps le x pour f' (x) = 0 je me trompe ???

a ce moment la, tu peux poser une fonction auxilliare pour etudier l'annulation de ta derivée


(edit, oué, j'ai mis 15 jour a repondre, qd on a trop de chose a faire ...), je vois que j'ai bien identifié le pb

pose g(x) = x e^x -1 et cherhce de ce coté. j'ai pas essayer, mais ca doit donner qq chose avec tes fonctions bijectives .... )

François

[kevin07]

oui je n'arrive pas à trouver ce x...
Merci, mais je dois donc à partir de g(x) chercher sa dérivée ? ou autre chose et je suis hors sujet ?
Je n'arrive pas à voir ou sa va me mener, c'est assez étrange..
Merci

[.:Spip:.]

oué, tu fais uen etude de g, et tu vas trouver tes variations.

comme ca va passer d'uen valeur negative a une positive sur un intervalle I, tu en deduit (car g continue) que l'equa g(x)=0 a une solution sur l'intervalle concidéré. tu as vu ca en cours, je pense.

A partir de la, tu remontes a l'etude de ta fonction f ....


François

[matthias]

Ne cherche pas à trouver une valeur théorique qui annulerait ta dérivée, on ne sait généralement pas le faire pour ce genre d'équation. Il faut étudier la fonction pour montrer l'existence et l'unicité d'une racine, ainsi qu'un encadrement, puis faire une approximation numérique.

[kevin07]

merci francois c'est effectivmeent ce que j'etais entrain de faire j'ai trouvé g'(x) = (1+x) e(x)
Puis apres, on sait que e(x) est toujours positif donc g'(x) est du signe de (1+ x)

[kevin07]

Envoyé par matthias

Ne cherche pas à trouver une valeur théorique qui annulerait ta dérivée, on ne sait généralement pas le faire pour ce genre d'équation. Il faut étudier la fonction pour montrer l'existence et l'unicité d'une racine, ainsi qu'un encadrement, puis faire une approximation numérique.

matthias, sa me rapelle le théorème des valeurs intermédiaires ce que tu me dis.. merci aussi

[kevin07]

roh décidement ca n'a pas l'air d'etre ma journée maths, j'ai étudié les variations... j'ai donc pour x= -1 g'(x)=0
g(x) est decroissante sur -00;-1 et croissante sur 1;+00

donc g(x) a une solution dans l'intervalle -00;+00 ?? décidement je galère.. désolé

[kevin07]

pour g(x) =0 je trouve donc une sollution appartenant à [0.0467 ; 0.09 ] mais je ne vois pas en quoi sa me ramene a f(x) ..

[kevin07]

en gros, comment je remonte à ma fonction ...?svp bien sur..

[matthias]

Une étude de f(x) = exp(x) - ln(x) est suffisante, pas besoin de fonction intermédiaire. Par contre il peut être utile de la dérivée deux fois.

[kevin07]

je suis d'accord mais mainteant que je suis parti avec cette double dérivée, j'aimerai apprendre à finir l'exercice...

[g_h]

Salut,

Au cas ou ça t'intéresse, il est possible de résoudre l'équation e^x = 1/x avec une fonction assez spéciale : la fonction W de Lambert



Plus généralement,

Mais revenons à nos moutons, il faut encore montrer que la fonction f : x -> exp(x) - ln(x) admet bien un minimum.

Le gros du raisonnement :

Dérivons f :
f'(x) = exp(x) - 1/x
Signe de f' ?

exp(x) - 1/x > 0
<=> exp(x) > exp(-ln(x))
<=> x > -ln(x) (car la fct exponentielle est strictement croissante sur R)
<=> x + ln(x) > 0

On est bloqués ! Etudions les variations de f'
f''(x) = 1 + 1/x

Signe de f'' ?
1+1/x > 0 est toujours vrai pour x réel positif (c'est ce qui nous intéresse)
f' est strictement croissante sur R.
Elle est continue => limite en 0 et en +oo => théorême de la bijection (je crois que vous appellez ça comme ça en Terminale) => tu trouves que f' s'annule en un réel unique, en montrant qu'elle est négative puis positive, tu montres que en cette valeur la fonction f admet un minimum, c'est celui que tu cherches ! ( = W(1) soit environ 0.567 )

[g_h]

Grosse bourde : ce n'est pas les variations de f' que l'on étudie, et la fonction que j'appelle f'' n'est pas du tout f'' bien sûr !
Mais bon, ça ne change pas le raisonnement...