"Revêtement" pour groupe d'homotopie supérieurs

[Turgon]

Bonjour, je vous sollicite pour un aiguillage théorique vers une potentielle notion que je ne connaitrais pas.

On sait que si on a un revêtement d'un espace sur un espace , on aura (modulo les bonnes hypothèses de connexités bien sûr) une injection du groupe fondamental de dans celui de .

Par contre, si j'en crois mes sources, dès qu'on passe aux groupes pour , on a une sorte d'"obstruction" qui fait que sera en plus isomorphe à .

Ma question est la suivante: existe-t-il une notion généralisant celle de revêtement, telle qu'on si "revêt" de cette nouvelle manière, on retrouve bien théoriquement la seule injection de dans pour ? Une sorte de revêtement assoupli si l'on veut?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[Turgon]

Ok je crois que la notions de fibration correspond à ce que je cherche.

En effet si est une fibration de de fibre on a d'après wikipédia une suite exacte longue:



Donc il faut s'arranger pour prendre une fibre vérifiant et pour ne pas avoir que des isomorphismes. Hmmm... Je me demande si de tels espaces existe quand n est différent de 1.

Je n'avais pas précisé dans mon premier post mais le but serait d'obtenir une correspondance entre telles "fibration" d'un espace et les sous groupes de son ...

Si quelqu'un a une idée, qu'il n'hésite pas!

[Universus]

Considérant cette table des groupes d'homotopie des sphères, nous voyons par exemple que et fonctionne. Ou encore et . Donc oui ça existe. Ce n'est pas aussi naturel par contre comme « construction » que ne le sont les revêtements.

[Turgon]

C'est vrai que la sphère parait le plus naturel, dommage que ça ne fonctionne pas pour tout les n !

Du coup je dois en trouver un autre. Est-ce que par exemple pour le tore de dimension n on bien et pour (la situation idéale ) ?

Une autre possibilité serait la suivante: contrairement aux groupes d'homotopie, les groupes d'homologie des sphères ont exactement le comportement que je veux en toute dimension. Le problème est: y-a-t-il une structure qui lie les groupe d'homologie entre les éléments d'une fibration comme cela existe pour les groupes d'homotopie?

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[Turgon]

Oups, je voulais dire pardon...

[Universus]

C'est vrai que la sphère parait le plus naturel, dommage que ça ne fonctionne pas pour tout les n !

Du coup je dois en trouver un autre. Est-ce que par exemple pour le tore de dimension n on bien et pour (la situation idéale ) ?

Une autre possibilité serait la suivante: contrairement aux groupes d'homotopie, les groupes d'homologie des sphères ont exactement le comportement que je veux en toute dimension. Le problème est: y-a-t-il une structure qui lie les groupe d'homologie entre les éléments d'une fibration comme cela existe pour les groupes d'homotopie?

Merci d'avance

Un des avantages des groupes d'homologie sur les groupes d'homotopie, c'est justement ce comportement que tu souhaites avoir. Le cas des sphères, ces espaces pourtant si naturels du point de vue des groupes d'homotopie, montre l'incroyable complexité de ces groupes par rapport aux groupes d'homologie.

Le tore n'a que des groupes d'homotopie triviaux pour n > 1 ; pour s'en rendre compte, il suffit de considérer la suite exacte des groupes d'homotopie associée au revêtement universel de chaque tore.

D'ailleurs, la complexité des groupes d'homotopie des sphères me semblent indiquer l'absence d'une notion « simple » et naturelle remplaçant celle de revêtement universel. En comparaison, les groupes d'homotopie stables se comportant mieux, j'imagine qu'une telle notion existe.

Les produits cartésiens et plus généralement les fibrations sont traités plus difficilement par les groupes d'homologie que par les groupes d'homotopie. Ceci étant dit, la formule de Künneth tient pour l'homologie des produits cartésiens, tandis que la formule de Leray-Künneth tient pour certaines fibrations plus générales que les produits cartésiens.

[Seirios]

Est-ce que par exemple pour le tore de dimension n on bien et pour (la situation idéale ) ?

Le revêtement universel de étant , donc contractile, on a si .

EDIT: Grillé...

[0577]

Bonjour,

des notions peut-être reliées à la question initiale: tour de Postnikov et tour de Whitehead.

Voir:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Tour_de_Postnikov

http://ncatlab.org/nlab/show/Postnikov+system

http://ncatlab.org/nlab/show/Whitehead+tower

(ce ne sont pas les meilleures références qui soient mais elles ont le mérite d'exister et de se trouver facilement avec un moteur de recherche...)

[Universus]

C'est super ça ! Merci beaucoup pour ces informations !

[Turgon]

Oui merci, j'y jetterai un long coup d'oeil, je pense !