Espace de banach
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Espace de banach



  1. #1
    mona123

    Espace de banach


    ------

    bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider a demontrer ce resultat:
    soit X et Y deux espaces vectoriel normé
    montrer que si B(X, F)est non reduit a l'application nul et B(X,Y) est de banach alors Y est de banach
    AVEC F designe R ou C ET B(X,Y) designe l'ensemble des fonction de X a valeurs dans Y lineaire ,continue et bornée
    voici ma reponse pouvez vous me la coriger :
    comme B(X, F)est non reduit a l'application nul ,alos il esciste L:X→F telque L(x)#0 pour tout x#0
    soit (yn) une suite de cauchy dans Y montrons qu'elle converge
    on a ∀ε>0 ∃N>0 telque ∀n>m>N ||yn-ym||≤ε/||L||
    soit (An) une suite de B(X,Y) telque
    An(x)=l(x)yn pour tout x∈X
    on a ∀ε>0 ∃N>0 telque ∀n>m>N ||An(x)-Am(x)||≤||L||.||yn-ym||≤ε pour tout x∈X telque ||x||≤1
    par suite ∀ε>0 ∃N>0 telque ∀n>m>N ||An-Am||≤ε
    ce qui signifie que (An) est une suite de cauchy dans B(X,Y) qui est de banach
    donc An→A ∈ B(X,Y)
    par suite An(x)→ A(x) ∈Y pour tout x∈ X
    ce qui donne l(x)yn → A(x) pour tout x ∈ X par suite yn → A(x)/l(x)∈Y pour tout x∈ X
    on conclut alors que Y est de banach.
    merci en avance

    -----

  2. #2
    Universus

    Re : espace de banach

    Bonjour,

    Citation Envoyé par mona123 Voir le message
    comme B(X, F)est non reduit a l'application nul ,alos il esciste L:X→F telque L(x)#0 pour tout x#0
    La déduction est erronée : si par exemple, alors toute application linéaire a un noyau non trivial.

    En fait, ceci est vrai : « comme B(X, F) n'est pas réduit à l'application nulle, il existe une application linéaire L:X→F non identiquement nulle, c'est-à-dire qu'il existe vérifiant L(x)#0 . »

    Heureusement, le reste de votre argument n'utilise pas de manière cruciale la déduction que vous avez faite, seulement l'énoncé corrigé.

    soit (yn) une suite de cauchy dans Y montrons qu'elle converge
    on a ∀ε>0 ∃N>0 telque ∀n>m>N ||yn-ym||≤ε/||L||
    D'accord.

    soit (An) une suite de B(X,Y) telque
    An(x)=l(x)yn pour tout x∈X
    L'utilisation du « soit » n'est pas vraiment une erreur, mais c'est un peu maladroit, puisque les applications A sont complètement définies par l'égalité de la seconde ligne. Il vaudrait mieux écrire

    « considérons la suite définie par pour tout et tout . »

    on a ∀ε>0 ∃N>0 telque ∀n>m>N ||An(x)-Am(x)||≤||L||.||yn-ym||≤ε pour tout x∈X telque ||x||≤1
    par suite ∀ε>0 ∃N>0 telque ∀n>m>N ||An-Am||≤ε
    ce qui signifie que (An) est une suite de cauchy dans B(X,Y) qui est de banach
    donc An→A ∈ B(X,Y)
    par suite An(x)→ A(x) ∈Y pour tout x∈ X
    ce qui donne l(x)yn → A(x) pour tout x ∈ X
    D'accord.

    par suite yn → A(x)/l(x)∈Y pour tout x∈ X
    on conclut alors que Y est de banach.
    Ici, en écrivant « pour tout x∈ X », vous utilisez la fausse déduction faite au début de l'argument. Ce faisant, cette étape est aussi erronée. Or, il suffit de considérer tel que et un tel x existe par le choix même de L. Ainsi, vous devriez écrire « par suite, quel que soit satisfaisant , on a . On conclut alors que Y est de Banach. »

  3. #3
    mona123

    Re : espace de banach

    bonjour Universus
    merci pour votre aide .pouvez vous s'il vous plait voir ma reponse posté sous le nom''espace de hilbert'' et m'aider a la corriger?mercien avance

  4. #4
    mona123

    Re : espace de banach

    pardon c'est sous le non Analyse de hilbert voici le site
    http://forums.futura-sciences.com/ma...e-hilbert.html

  5. A voir en vidéo sur Futura

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