CNS sur un Anneau pour qu'un polynôme ait autant de racine que de degré

[Victor.S]

Bonjour,

tout est dans le titre, je me demandais si il y avait une condition nécéssaire et suffisante (non triviale) sur un anneau A pour que tout polynôme de A[X] ait autant de racine que son degré.

S'il n'en existe pas vraiment, peut-être une suffisante ?

J'ai cherché un peu sur le net mais je ne suis pas tombé sur grand chose :/.

Voilà merci beaucoup ! Bonne journée.
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[Médiat]

Bonjour,

Pour que ce soit le cas, il faut que les équations aX - 1 = 0 ait une racine, c'est à dire que "a" ait un inverse, donc l'anneau doit être un corps, pour des raisons similaires, il faut que le corps soit algébriquement clos, et cela doit être suffisant (à vérifier si le corps est de caractéristique différente de 0)

[minushabens]

Certains anneaux n'ont pas de 1.

[Médiat]

Oui c'est vrai, j'ai tendance à utiliser la définition anglaise de Ring qui correspond à Anneau unitaire.

Quid de l'équation aX - a = 0 dans le cas non unitaire ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Victor.S]

minushabens : Il me semble que, plus exactement, sans 1 cela s'appelle « pseudo-anneau », et non « anneau » ^^.