Appartenance des valeurs propres au corps d'un espace vectoriel

[Vador1397]

Bonjour


Je me posais la question suivante :

Si j'ai un endomorphisme u d'un R-espace vectoriel, les valeurs propres de u sont forcément réelles, car si par l'absurde j'avais une valeur propre complexe non réelle, j'aurais avec x vecteur propre associé, donc . Mais alors (si par exemple , alors pour on a ).

Ce qui me fait dire qu'un endomorphisme d'un R-espace vectoriel n'a que des valeurs propres (ou sinon il faut considérer E comme un C-espace vectoriel mais du coup c'est plus le même E).


Cela m'amène à la question suivante : si j'ai un automorphisme orthogonal u alors, par définition d'un automorphisme orthogonal, u est forcément défini sur un espace euclidien donc sur un R-espace vectoriel. Du coup quand on démontre que pour tout valeur propre on a , cela implique forcément , et non comme je l'ai cru pendant longtemps.

Et alors on n'a que si on parle d'un automorphisme unitaire (corps de base C) et non un automorphisme orthogonal.


Par contre, ai-je raison de penser que si on prend juste une matrice , vu que c'est juste une matrice et donc qu'elle n'est pas reliée à un espace-vectoriel particulier il faut considérer TOUTES ses valeurs propres, réelles et complexes ?


Voilà j'ai conscience que y a pas forcément de question très claire qui émane de mon message, en fait je voudrais juste savoir si vous êtes d'accords avec tout ce que je dis ?
Merci beaucoup
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[Vador1397]

Attendez oubliez mon premier message parce qu'il est vraiment pas clair (d'autant plus qu'il manque le mot "réelles" à la fin de la phrase "Ce qui me fait dire qu'un endomorphisme d'un R-espace vectoriel n'a que des valeurs propre")

Je reformule entièrement mon message, ne tenez pas compte du précédent




Pouvez-vous me dire si les assertions suivantes sont justes ?


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1) Pour un endomorphisme u d'un R-espace vectoriel E, les valeurs propres de u sont toutes réelles.

démonstration :
par l'absurde, si avec valeur propre complexe non réelle et x vecteur propre associé, alors car E est un R-espace vectoriel (et non un C-espace vectoriel), or on a forcément car et u est un endomorphisme de E.


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2) Pour un automorphisme unitaire u (donc défini sur un C-espace vectoriel) et pour valeur propre de u, donc .

Par contre, pour un automorphisme orthogonal u (donc défini sur un R-espace vectoriel), d'après (1) les valeurs propres de u sont réelles, et donc implique .


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J'arrive à ma troisième assertion, qui me semble légèrement contradictoire avec les précédentes :

3) Soit A une matrice orthogonale.

3.a) Si on définit une matrice orthogonale simplement comme une matrice vérifiant , alors il n'y a pas de raison de ne considérer que ses valeurs propres réelles, et donc on a implique

3.b) En revanche, si on définit une matrice orthogonale comme une matrice associée dans une base orthonormée à un automorphisme orthogonal, A doit avoir le même spectre que cet automorphisme orthogonal, et donc d'après (2) on doit avoir

Donc je n'arrive pas au même résultat selon la définition que je prends....

Quand on s'intéresse à une matrice, elle doit n'avoir qu'un seul spectre possible, et donc le fait de la voir comme la matrice associée à un endomorphisme de R-espace vectoriel ou de C-espace vectoriel ne devrait pas avoir d'influence ??


Merci beaucoup pour votre aide

[minushabens]

Il n'y a pas de contradiction. Si tu parles d'un endomorphisme d'un R-esspace vectoriel, il peut avoir des valeurs propres ou pas, et s'il en a elles sont réelles. S'il est représenté dans une certaine base par une certaine matrice qui a des valeurs propres complexes (non réelles) ça signifie que l'endomorphisme a moins de valeurs propres que le nombre maximum.

[Médiat]

Quand on s'intéresse à une matrice, elle doit n'avoir qu'un seul spectre possible, et donc le fait de la voir comme la matrice associée à un endomorphisme de R-espace vectoriel ou de C-espace vectoriel ne devrait pas avoir d'influence ??

Bonjour,

Je ne réponds qu'à cette phrase car elle me semble être le fond de votre confusion.
Que pensez-vous de la phrase suivante :

"Quand on s'intéresse à une équation polynomiale, elle doit n'avoir qu'un seul ensemble de racines, et donc le fait de la voir comme une équation sur ou sur ne devrait pas avoir d'influence." Puis adaptez ce raisonnement à

[A voir en vidéo sur Futura]

[Vador1397]

Merci beaucoup pour vos réponses à tous les deux,


Si je m'intéresse à en effet je peux m'intéresser soit à ses racines réelles soit à ses racines complexes

Donc en fait il faut faire la même chose avec les matrices et séparer ses spectres réel et complexe,

si A est associé à u endomorphisme d'un R-espace vectoriel,
si A est associé à u endomorphisme d'un C-espace vectoriel,



Et au final, on peut bien dire qu'un endomorphisme orthogonal ne possède que des valeurs propres réelles, alors qu'une matrice orthogonale possède des valeurs propres réelles ET complexes non réelles.


Etes-vous bien d'accord avec tout ça ?

[minushabens]

En gros tu as raison, mais je ne vois pas pourquoi limiter la notion de matrice orthogonale aux matrices à coefficients réels ou complexes, alors qu'on peut la définir pour un anneau unitaire quelconque.

[Vador1397]

c'est juste une question de vocabulaire, en fait pour moi on dit matrice "orthogonale" pour une matrice unitaire à coefficients réels, mais peut-être que cette convention n'est pas universelle...

[Vador1397]

J'ai encore une question sur ce sujet en fait :

Est-ce juste par définition qu'une valeur propre d'un endomorphisme appartient toujours au corps de l'espace vectoriel sur lequel cet endomorphisme est défini ?

Parce que je m'aperçois que ma justification selon laquelle pour un endomorphisme d'un R-espace vectoriel E on aurait si n'est pas toujours vraie :
Si par exemple on prend considéré comme un R-espace vectoriel, avec une base (1,i) on peut avoir même avec


C'est donc uniquement par définition qu'une valeur propre doit appartenir au corps de l'espace vectoriel sur lequel et défini l'endomorphisme ?

Merci d'avance

[minushabens]

c'est un tout petit ensemble...

[Vador1397]

autant pour moi je voulais parler de mdr

[Vador1397]

cette correction étant faite, je suis quand même preneur pour une réponse à ma question ^^

[Neluge]

Si E est un K-espace vectoriel, et si , alors n'est défini que pour ... Ecrire pour n'a juste pas de sens (loi externe non définie).

[Vador1397]

ok voilà une réponse implacable, c'est parfait merci beaucoup

[Universus]

Bonjour,

J'ai encore une question sur ce sujet en fait :

Est-ce juste par définition qu'une valeur propre d'un endomorphisme appartient toujours au corps de l'espace vectoriel sur lequel cet endomorphisme est défini ?

Parce que je m'aperçois que ma justification selon laquelle pour un endomorphisme d'un R-espace vectoriel E on aurait si n'est pas toujours vraie :
Si par exemple on prend considéré comme un R-espace vectoriel, avec une base (1,i) on peut avoir même avec


C'est donc uniquement par définition qu'une valeur propre doit appartenir au corps de l'espace vectoriel sur lequel et défini l'endomorphisme ?

Je suis tout à fait d'accord avec les remarques faites par les autres intervenants. Cependant, une fois le pourquoi de ces remarques compris, si on s'y prend bien, il n'y a plus vraiment de problème à penser comme vous le faites. La raison de ceci provient plus ou moins de l'exemple que vous donnez dans la citation ci-dessus.

Puisque comme corps, tout espace vectoriel sur peut être compris comme un espace vectoriel sur doté d'un endomorphisme J tel que . C'est la « réalisation » d'un espace vectoriel complexe. Une opération opposée, mais pas inverse, est la complexification : étant donné un espace vectoriel V sur , on peut construire un espace vectoriel sur via le produit tensoriel, . Ceci revient à prendre deux copies de V pour former l'espace vectoriel réel et à définir la multiplication par i comme étant .

La complexification est liée à la question que vous posez. Si V est un espace vectoriel réel de dimension n et si est un endomorphisme, alors nous pouvons calculer son polynôme caractéristique (le calcul peut passer par un choix de base spécifique, mais le résultat ne dépend pas de ce choix). Ce polynôme est à coefficients réels et donc à coefficients complexes. Il n'admet peut-être aucune racine réelle, mais le corps des complexes étant clos, ce polynôme admet (avec multiplicités) n racines complexes. On ne peut associer aucun vecteur (propre pour L) de V à une racine non réelle du polynôme caractéristique. Cependant, L s'étend naturellement en un endomorphisme complexe ayant le même polynôme caractéristique et on peut associer au moins un vecteur (propre pour ) de à chaque racine (sans multiplicité) du polynôme caractéristique. En ce sens, les valeurs propres non réelles d'un endomorphisme réel sont là « d'esprit », sans être « incarnées » ; en complexifiant l'espace vectoriel et l'endomorphisme, elles prennent « forme ».

C'est pourquoi je dirais que toutes les racines du polynôme caractéristique (dans la clôture algébrique) sont des valeurs propres. Pour être précis, je dirais qu'il s'agit de valeurs propres algébriques et non géométriques, car elles ne sont associées à aucun vecteur propre dans l'espace initial. Cette convention me semble aussi motivée par le fait que si l'on compte les multiplicités, mêmes les valeurs propres réelles ne sont pas toutes associées à des vecteurs propres : par exemple, l'endomorphisme admet 1 comme valeur propre de multiplicité deux, mais n'admet qu'un espace propre de dimension un. La seconde valeur propre algébrique a-t-elle moins d'essence que la première parce qu'elle n'est pas géométrique ? Je ne pense pas. Les valeurs propres non réelles, qui ne sont pas directement géométriques, ont-elles moins d'essence aussi ? Je ne le pense pas plus.

[Vador1397]

Merci beaucoup Universus c'est formidable, justement après cette discussion je me posais ce genre de question sur les passages possibles entre R-espace vectoriels et C-espace vectoriels, et sur la possibilité d'associer un endomorphisme de C-espace vectoriel à un endomorphisme de R-espace vectoriel. Vous avez donc répondu à mes interrogations sans même que je les pose !

juste une question : si je devine bien, par "valeur propre géométrique" vous entendez "valeur propre effectivement associée à un vecteur propre", et par "valeur propre algébrique" vous entendez "racine du polynôme caractéristique, non nécessairement associée à un vecteur propre" ?
je ne trouve pas grand chose sur google quand je tape "valeur propre géométrique"...

[Universus]

juste une question : si je devine bien, par "valeur propre géométrique" vous entendez "valeur propre effectivement associée à un vecteur propre", et par "valeur propre algébrique" vous entendez "racine du polynôme caractéristique, non nécessairement associée à un vecteur propre" ?
je ne trouve pas grand chose sur google quand je tape "valeur propre géométrique"...

C'est bien ce que j'entends par cette terminologie. Je ne sais pas si elle est répandue, mais il s'agit d'une terminologie qui m'est inspirée par la traduction française du livre de Lay « Algèbre linéaire » publié aux éditions De Boeck. On y parle de « multiplicité algébrique » et de « multiplicité géométrique » d'une valeur propre (algébrique) : la multiplicité algébrique d'une valeur propre étant sa multiplicité comme racine du polynôme caractéristique, sa multiplicité géométrique étant la dimension du sous-espace propre associé. La multiplicité algébrique est toujours supérieure ou égale à la multiplicité géométrique. J'ai implicitement défini une valeur propre géométrique comme une valeur propre (algébrique) ayant une multiplicité géométrique non nulle.

[Vador1397]

ok c'est bien ce que j'avais compris, j'utilise moi aussi les termes de multiplicité algébrique et géométrique