Automorphisme
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Automorphisme



  1. #1
    YuuX

    Automorphisme


    ------

    Bonjour,

    Je souhaite montrer que l'application f est un automorphisme de R^3 :

    V(x,y,z)€R^3 , f(x,y,z) = (2y + z , x + z , -x + y + z)

    A vrai dire, l'endomorphisme est évident, même pour l'application linéaire, je bloque surtout sur la bijection.

    J'ai lu qu'il fallait chercher le noyaux et l'image, dans ce cas le noyau est (0,0,0) donc f est injective (?) mais pour l'image je trouve une relation assez étrange TQ :

    F(x,y,z) = (a, b, c) € R^3

    x = (b + a -2c) /3
    y = (2a - b - c)/3
    z = (-a + 2b +2c)/3

    Donc la on a bien l'unicité (du moins je crois et encore si cela est bon bien entendu), si on laisse de côté la réciproque, est-ce que je viens de montrer que f est surjective et donc bijective ?

    Cordialement YuuX

    -----

  2. #2
    minushabens

    Re : Automorphisme

    Tu peux faire comme ça mais en dimension finie on montre que f est injective si et seulement si elle est surjective, donc tu n'as à prouver qu'une des deux propriétés.

  3. #3
    YuuX

    Re : Automorphisme

    Ah je ne savais pas cela, mais pour ce que j'ai fais, cela suffit a montrer la bijection de la fonction ?

  4. #4
    minushabens

    Re : Automorphisme

    Tu as écrit l'inverse de f, tu as donc fait plus que ce qu'on te demandait.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    YuuX

    Re : Automorphisme

    En écrivant l'inverse de f j'ai montré le fait qu'elle était subrjective non ? étant donné qu'il y a unicité des antécédents (?)

  7. #6
    Médiat

    Re : Automorphisme

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    Tu peux faire comme ça mais en dimension finie on montre que f est injective si et seulement si elle est surjective, donc tu n'as à prouver qu'une des deux propriétés.
    Une petite précision indispensable : pour un endomorphisme, ou plus généralement si les dimensions de départ et d'arrivée sont identiques.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #7
    YuuX

    Re : Automorphisme

    D'accord merci bien !

  9. #8
    PlaneteF

    Re : Automorphisme

    Bonjour,

    Citation Envoyé par YuuX Voir le message
    En écrivant l'inverse de f j'ai montré le fait qu'elle était subrjective non ? étant donné qu'il y a unicité des antécédents (?)
    D'une manière générale, pour une application :

    est injective est inversible à gauche.

    est surjective est inversible à droite (*)


    (*) A noter que le sens est équivalent à l'axiome du choix.


    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 22/03/2015 à 11h28.

  10. #9
    minushabens

    Re : Automorphisme

    Citation Envoyé par YuuX Voir le message
    En écrivant l'inverse de f j'ai montré le fait qu'elle était subrjective non ? étant donné qu'il y a unicité des antécédents (?)
    la surjectivité c'est l'existence d'un antécédent de tout élément. L'unicité c'est l'injectivité.

  11. #10
    YuuX

    Re : Automorphisme

    Et donc chercher les images de f nous permet de montrer la surjectivité de la fonction f ?
    Et le noyau ?

    Cordialement

  12. #11
    PlaneteF

    Re : Automorphisme

    D'une manière générale, pour :

    Citation Envoyé par YuuX Voir le message
    Et donc chercher les images de f nous permet de montrer la surjectivité de la fonction f ?
    surjective


    Citation Envoyé par YuuX Voir le message
    Et le noyau ?
    injective


    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 22/03/2015 à 12h32.

  13. #12
    YuuX

    Re : Automorphisme

    D'accord !!!

    Et donc si on a un endomorphisme, montrer que f est surjective revient à montrer que Imf = E soit que toutes les images de f qui sont dans E représentent elles aussi l'ensemble E. Soit plus généralement on peu déterminer toutes les images de f (comme ce que j'ai fais) et montrer que ces images là représente E (l'ensemble de départ) soit dans mon exemple R ? Mais comment montrer que toutes les valeurs de R sont prises par ces images (car c'est bien la définition de la surjectivité n'est-ce pas ?) ?

  14. #13
    PlaneteF

    Re : Automorphisme

    Citation Envoyé par YuuX Voir le message
    Et donc si on a un endomorphisme, montrer que f est surjective revient à montrer que Imf = E soit que toutes les images de f qui sont dans E représentent elles aussi l'ensemble E. Soit plus généralement on peu déterminer toutes les images de f (comme ce que j'ai fais) et montrer que ces images là représente E (l'ensemble de départ) soit dans mon exemple R ? Mais comment montrer que toutes les valeurs de R sont prises par ces images (car c'est bien la définition de la surjectivité n'est-ce pas ?) ?
    Montrer que revient à montrer que (l'autre inclusion est évidente).

    Et donc c'est bien ce que tu as fait dans ton premier message : Tu as bien pris un élément quelconque de , puis tu as montré qu'il pouvait s'écrire de "quelque chose", donc . D'où l'inclusion.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 22/03/2015 à 13h16.

  15. #14
    YuuX

    Re : Automorphisme

    D'accord merci beaucoup !!

    Cordialement !

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