Pourquoi une variété est un CW - complexe ?

[invite52487760]

Bonjour à tous,
Comment établir le fait que toute variété différentiable et toute variété algébrique complexe est un CW - complexe ?
Merci d'avance.
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[Universus]

Bonjour,

Par définition d'une variété topologique, il s'agit d'un espace paracompact, Hausdorff et localement homéomorphe à un espace euclidien de dimension donnée. Ce faisant, on peut trouver un recouvrement localement finis par des ouverts précompacts homéomorphes à des boules de la dimension prescrite.

On peut considérer le nerf de ce recouvrement, qui est un complexe simplicial (abstrait) de dimension finie et donc un complexe CW de manière assez évidente.

Pour une variété algébrique, cette notion étant définie comme le lieu d'annulation d'une fonction, il faut se ramener au cas des variétés topologiques par étapes. Le lieu singulier d'une variété algébrique est de mesure nulle dans cette variété, donc son complément est une réunion disjointe de variétés topologiques ; le lieu singulier est lui-même une variété algébrique, donc on réitère la procédure. Ce faisant, toute variété algébrique est une réunion de variétés topologiques et il faut penser à une façon de définir des structures de complexes CW compatibles sur chacune.

[invite52487760]

Ah d'accord, merci beaucoup.
Existe -t-il un exemple de CW - complexe qui n'est pas une variété ?
Merci infiniment.

[Universus]

On peut penser à une figure 8, c'est-à-dire à un bouquet de deux cercles, qui n'est pas homéomorphe à un espace euclidien là où les deux cercles sont collés. Plus généralement, on peut penser à des graphes un tant soit peu complexes, à des complexes simpliciaux « génériques » ou à des variétés algébriques singulières.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52487760]

Bonjour,
Est ce que un CW-complexe peut être vu comme un complexe simpliciale ?
Et à quoi sert la notion de triangulation d'un espace topologie en topologie algébrique ?
Merci d'avance.

[Seirios]

Bonjour,

Un CW-complexe n'est pas toujours un complexe simplicial; les cellules d'un CW-complexe peuvent être recollées sur elles-mêmes d'une manière très compliquée. En guise d'exemple, le tore peut-être obtenu en identifiant les côtés opposés d'un carré : c'est un CW-complexe mais ce n'est pas un complexe simplicial. Par contre, tu peux considérer une subdivision pour en fire un complexe simplicial.

[Universus]

Voici quelques ajouts au commentaire de Seirios. (Édition : maintenant que le message est écrit, je vois bien qu'il y a un peu plus que « quelques » ajouts...)

Toute variété peut être dotée d'une structure de complexe CW, mais pas de façon unique ni de manière canonique. Pour la multiplicité des structures, il n'y a qu'à penser qu'à la 2-sphère : d'une part, on peut prendre une 0-cellule, aucune 1-cellule et une 2-cellule et identifier tout le bord de la 2-cellule à la 0-cellule ; d'autre part, on peut prendre une 0-cellule, une 1-cellule et deux 2-cellules, puis identifier les extrémités de la 1-cellule à la 0-cellule, puis coller les 2-cellules comme des hémisphères.

De façon analogue, comment doter une 2-celulle d'une structure de complexe simplificial ? Est-ce un triangle ? Est-ce un carré décomposé en deux, trois, quatre, ... 2-simplexes ? Un pentagone décomposé en trois, quatre, ... 2-simplexes ?

Ce n'est pas tout. Les complexes CW sont simples dans les objets qui les composent, l'éventuelle complexité de cette structure résidant principalement dans les fonctions de recollement. En comparaison, les complexes simpliciaux sont très rigides dans leurs objets : si on a un n-simplexe, il faut nécessairement avoir n+1 (n-1)-simplexes. Les fonctions de recollements sont relativement simples, en ce sens qu'on colle « linéairement » des simplexes de même dimension entre eux, mais c'est alors aussi des contraintes rendant difficile la construction d'une structure simpliciale.

Cela montre qu'il n'y a vraiment pas de manière canonique de voir un complexe CW comme un complexe simplicial. Par exemple, dans la seconde structure de complexe CW sur la 2-sphère donnée ci-dessus, on peut directement penser aux cellules utilisées comme étant des simplexes standards et il est facile d'en déduire une structure de complexe simplicial sur la sphère. Au contraire, pour la première structure, il n'y a pas de 1-cellule, donc rien qui ressemble à un 1-simplexe : on est obligé d'utiliser une subdivision de la 2-cellule pour en faire apparaître.

Bref, un complexe CW vérifie des conditions si faibles sur ses objets et sur les fonctions de recollements qu'il n'y a en général aucune chance que de telles données satisfassent « presque automatiquement » les contraintes sévères exigées d'un complexe simplicial. Il faut passer à des subdivisions, ce qui peut toujours se faire si le nombre de cellules est fini, mais de façon ad hoc.

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Quant à l'utilité de ces structures, elle est multiple. Essentiellement, des complexes CW ou simpliciaux donnent beaucoup d'information sur la manière d'étudier la topologie. Par exemple, si je perce un point dans un espace topologique, comment le groupe fondamental change-t-il ? Question difficile en général. Si cet espace possède une décomposition en complexe CW ou simplicial et si je sais que ce point est percé au centre d'une n-cellule ou d'un n-simplexe (avec n la dimension de l'espace), alors je peux homotoper ce qui reste de la cellule ou du simplexe sur sa frontière, de sorte que le (n-1)-squelette de l'espace n'est pas affecté. Donc, si n > 2, le 2-squelette est inchangé ; or, le groupe fondamental ne dépend que sur le 2-squelette.

Un complexe CW ou simplicial donne une façon systématique de calculer l'homologie (singulière) de l'espace sous-jacent, puisque l'homologie CW, l'homologie simpliciale et l'homologie singulière sont toutes isomorphes. C'est utile à savoir, même pour des arguments abstraits. Par exemple, sur une n-variété topologique (disons compacte), il y a une infinité indénombrable de simplexes singuliers, alors comment savoir que l'homologie singulière est un module finiment engendré ? Bien, on trouve une décomposition CW n'ayant qu'un nombre fini de cellules, donc l'homologie CW est finiment engendrée et on utilise l'isomorphisme évoqué précédemment.