probleme sur les dimensions d'un esp vect

[val5797]

Bonjour,
j'ai reçu un exercice qui me donne pas mal de fil a retordre dont le but est de démontrer le théoreme de grassman.
E est un K-espace vectoriel, si F et G sont des sous-espaces vectoriels de E de dimensions finies, alors F+G est un sous-espace vectoriel de dimension finie et dim(F+G)=dimF+dimG-dim(F inter G)
1) On travaille dans cette question dans l'espace vectoriel R5 et on considère les ensembles:
F={(x,y,z,t,u)appartenant à R5/x+y+z=+x+u-t=0} et G={(x,y,v,t,u)|x+y-z+t=0}
a) montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R5 de dimension finie et donner leur dmension.
b) Justifier que F+G et F inter G sont des sous espaces vectoriels de dimension finie en déterminant une base de chacun
2)On travaille le cas général:F et G sont deux sous espaces vectoriels de dimension finie d'un K espace vectoriel E (qui n'est pas forcément finie).
a) démontrer que F inter G est nécessairement un sous espace vectoriel de dimension finie.
b) On considere un supplémentaire F1 de f inter G dans F. Exprimer dimF1 a l'aide de dimF et dime (FinterG)
c) Démontrer que F+G=Fsomme directe de G
d) conclure
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[ansset]

bjr,
sans vouloir jouer les rabats-joie , tu ne dis rien de ce que tu as fait.
ce n'est pas en recopiant un exercice que tu risques d'avoir des réponses.
à moins que ton travail ne soit dans la pièce jointe ( que je ne peux lire pour l'instant )

[val5797]

PS: pour la 1)a) j'ai trouvé que F et G sont de dimension 3.
mon plus gros soucis et de déterminer F+G et F inter G, je ne vois pas comment associer x+y+z=x+u-t=0 et x+y-z+t=0

[val5797]

JE comprends, enfaite dès le début j'ai des soucis, je ne vois pas comment déterminer F+G et F inter G

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

tu peux remarquer que dans les deux cas F et G, il y a une variable inutile.
x pour F et u pour G.
comment arrives tu à une dimension 3 ?
Cdt

[ansset]

ps : pas un piège, juste une demande de précision sur ta réponse.

[val5797]

Pour F j'ai séparé l'équation en 2, cad: x+y+z=0 ==>z=-x-y
x+u-t=0==>t=x+u
F ={(x,y,-x-y,x+u,u}
dimF=3
Pour G j'ai isolé t et considéré u inutile donc: x+y-z+t=0==>t=z-x-y
G={(x,y,z,z-x-y,0 } <=>G={(x,y,z,z-x-y}
dimG=3

[PlaneteF]

Bonjour,

F ={(x,y,-x-y,x+u,u}
dimF=3

Et en quoi cela prouve t-il que ?

G={(x,y,z,z-x-y}

Ecriture absurde. On travaille dans , pas dans !

dimG=3

est manifestement un hyperplan, donc sa dimension ne peut pas être égale à .


Cordialement

[val5797]

Je ne sais pas dans la mesure où l'on peut négliger u et simplifier t, ce qui nous conduit à G=Vect((1;0;0;-1;0),(0;1;0;-1;0),(0;0;1;1;0))
et F=Vect((1;0;-1;1;0);(0;1;-1;0;0);(0;0;0;1;1)) d'ou dimF=3

[PlaneteF]

(...) dans la mesure où l'on peut négliger u et simplifier t, ce qui nous conduit à G=Vect((1;0;0;-1;0),(0;1;0;-1;0),(0;0;1;1;0)) (...)

"négliger u" (sic) et "simplifier t" (re-sic) ne veulent absolument rien dire ici.

Mais avant de parler de tu n'as toujours pas répondu à la question pour !

Cdt

[PlaneteF]

et F=Vect((1;0;-1;1;0);(0;1;-1;0;0);(0;0;0;1;1)) d'ou dimF=3

Non, ... d'où

Cdt

[PlaneteF]

Par exemple soit

On a :

En conclus-tu pour autant que vaut


Cdt

[val5797]

Je souhaitais savoir comment trouver les dimensions F+G et F inter G(je demande la méthode mais pas la solution)

[val5797]

Oui mais la il y a des relations entre chaque couple, dans mon cas il s'agit d'une base.

[PlaneteF]

Je souhaitais savoir comment trouver les dimensions F+G et F inter G(je demande la méthode mais pas la solution)

Mais tu n'as toujours pas répondu ni pour , ni pour !

[PlaneteF]

(...) dans mon cas il s'agit d'une base.

Et comment le prouves-tu ?

[val5797]

vu qu'il n'y a aucune relation entre les couples, F et G sont des bases donc dimF=dimG=3

[PlaneteF]

vu qu'il n'y a aucune relation entre les couples, (...)

Charabia

(...) F et G sont des bases (...)

Non, ... et sont des espaces vectoriels, ... pas des bases.

(...) dimG=3

Pour la 2e fois, est un hyperplan donc

A toi de le prouver autrement si tu ne connais pas la notion d'hyperplan.


Cdt

[PlaneteF]

Repartons de ce que tu avais écrit là :

F=Vect((1;0;-1;1;0);(0;1;-1;0;0);(0;0;0;1;1))

Cela prouve que :

1) est un sous-espace vectoriel de .

2) La famille est génératrice de .

3)

Cette famille est-elle libre pour autant ?

Si oui alors


Cdt

[val5797]

Je vois pas pourquoi G est un hyperplan

[PlaneteF]

Je vois pas pourquoi G est un hyperplan

Si tu poses la question c'est que tu n'as pas vu cette notion ?!

[PlaneteF]

Sinon tu peux jeter un coup d'oeil ici : http://forums.futura-sciences.com/ma...imensions.html ...

Cela devrait aussi t'aider.

[val5797]

si je sais ce qu'est un hyperplan mais je ne vois pas pourquoi

[PlaneteF]

si je sais ce qu'est un hyperplan mais je ne vois pas pourquoi

Toute équation du type : , avec les coefficients , , , et non tous nuls, définit un hyperplan de .

Cdt

[val5797]

oui mais le e est nul pour g il s'agirait donc d'un hyperplan de R4 donc dim G=3

[PlaneteF]

oui mais le e est nul pour g il s'agirait donc d'un hyperplan de R4 donc dim G=3

... Il est urgent que tu te replonges dans ton cours et que tu sois conscient(e) que ce que tu dis là est complètement faux.

Plaçons nous dans . Les hyperplans sont donc les droites vectorielles de la forme avec et non tous les deux nuls.

Ce que tu es en train de nous expliquer c'est que pour l'hyperplan définit par (par exemple) , alors puisque on rabaisse d'une unité sa dimension ce qui donnerait

Cdt

[PlaneteF]

(...) il s'agirait donc d'un hyperplan de R4 (...)

Et puis autre chose, que vient faire dans cette histoire ... Les seuls vecteurs que l'on manipule et qui sont en jeu ici, sont des vecteurs de .

[val5797]

ah oui en effet je viens de comprendre, je n'ai pas assez réfléchi sur le faite que u est non et non e, donc il s'agit bien d'un hyperplan donc dimG=4 merci
s

[val5797]

sinon est ce que l'on pourrait m'indiquer comment déterminer dim(F+G) et dim(F interG)??

[PlaneteF]

sinon est ce que l'on pourrait m'indiquer comment déterminer dim(F+G) et dim(F interG)??

Relis le message#22.

Cdt