Hilbert
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Hilbert



  1. #1
    mona123

    Hilbert


    ------

    s' il vous plaît peut quelqu'un m'aider à répondre à ce problème:
    Si Y est un espace propre correspondant à une valeur propre λ d'un opérateur T, déterminer le spectre de T | Y justifier votre reponse .
    T | Y designe la restriction de T sur Y


    Y =Ker(T - λId) est un sous vectoriel fermé de H donc est un sous-Hilbert ; et la restriction S de T à Y est l'homothétie x →λx .

    σ(T) est l'ensemble des z tels que T - z.IdH (ie l'application x→ (λ - z).x de H dans H ) n'est pas inversible .
    on doit chercher les complexes k tels que x → k.x est inversible
    mais je n'arrive pas a repondre pouvez vous m'aider s'il vous plait.
    merci

    -----

  2. #2
    Universus

    Re : Hilbert

    Il y a de quoi s'en mordre les doigts de ne pas voir comment conclure ici !

    Une homothétie n'est que la multiplication par un scalaire ; elle admet une transformation inverse (qui s'avère aussi être une homothétie) si et seulement si ledit scalaire est inversible...

    Remarque : On considère ici seulement et pas l'application . En d'autres termes, on ne pense plus à H, seulement à Y...

  3. #3
    mona123

    Re : Hilbert

    bonjour Universus
    concernant cette question j'ai ecrit:
    déterminons le spectre de T|Y
    on a T|Y: Y→Y
    x→ T|Y(x)=λx
    σ(T|Y)={k ∈C telque T|Y -k Id est non inversible}
    on a pour tout x dans Y
    (T|Y -k Id)(x)= T|Y(x)-kx=λx-kx=(λ-k)x
    donc pour tout k#λ ona T|Y -k Id est inversible et son inverse est 1/(λ-k) (T|Y -k Id)
    et pour k= λ on a (T|Y -k Id)=(T|Y -λ Id) n'est pas inversible car Y est le sous espace propre correspondant à une valeur propre λ de l' opérateur T
    conclusion:σ(T|Y)={λ}
    ma reponse est elle juste .si oui pouvez vous s'il vous plait ameliorer ma redaction.
    merci

  4. #4
    Universus

    Re : Hilbert

    Citation Envoyé par mona123 Voir le message
    déterminons le spectre de T|Y
    on a T|Y: Y→Y
    x→ T|Y(x)=λx
    σ(T|Y)={k ∈C telque T|Y -k Id est non inversible}
    on a pour tout x dans Y
    (T|Y -k Id)(x)= T|Y(x)-kx=λx-kx=(λ-k)x
    D'accord.

    donc pour tout k#λ ona T|Y -k Id est inversible et son inverse est 1/(λ-k) (T|Y -k Id)
    C'est vraiment l'inverse ? L'identité tient pour tout ?

    et pour k= λ on a (T|Y -k Id)=(T|Y -λ Id) n'est pas inversible car Y est le sous espace propre correspondant à une valeur propre λ de l' opérateur T
    conclusion:σ(T|Y)={λ}
    La conclusion est bonne, malgré l'erreur sur l'expression de l'inverse. Notez que pour , et n'est certainement pas inversible...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    mona123

    Re : Hilbert

    bonjour Universus
    l'inverse est 1/(λ-k) Id
    est il juste maintenant.merci

  7. #6
    Universus

    Re : Hilbert

    Oui, cela fonctionne maintenant.

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