Espaces vectoriels

deb's · 09/03/2006, 22h55

bonjour ,
comment fait on pour determiner si une equation est un sous espace vectoriel?
comment fait on pour savoir si une fonction est stable par l'addition ou la multiplication ?
merci

Quinto · 09/03/2006, 23h03

Bonjour,
tes questions n'ont aucun sens.
Que veux tu vraiment savoir?

deb's · 09/03/2006, 23h45

j'ai en face de moi des sous ensemble de R3 ET ON ME DEMANDE SI CE SONT DES SOUS ESpace vectoriel
par exemple (x-1)^2+z^2>0
Je voudrais connaitre la methode pour savoir si cette ensemble est un sous espace vectoriel
merci

Bleyblue · 10/03/2006, 12h48

Tu dois vérifier que :

- a) $\vec{o} = (0,0,0)$ (dans IR³) appartient bien à ton ensemble

-b) $\forall \vec{v},\vec{w}$ de ton ensemble, $\lambda \vec{v} + \mu \vec{w}$ appartient toujours à ton ensemble
$\lambda, \mu$ réels

deb's · 10/03/2006, 15h10

Citation:

Envoyé par Bleyblue

Tu dois vérifier que :

-b) $\forall \vec{v},\vec{w}$ de ton ensemble, $\lambda \vec{v} + \mu \vec{w}$ appartient toujours à ton ensemble
$\lambda, \mu$ réels

merci pour ta reponce
comment on verifi le b)
avec les coordonnés des vecteurs?
merci

Bleyblue · 10/03/2006, 15h33

bonne question

Moi je prendrai v(Vx,Vy) et w(Wx, Wy) appartenant à l'ensemble et j'essaierai de montrer que (A.Vx + B.Wy, A.Vy + B.Wy) (A, B réels) appartient toujours à l'ensemble

Note qu'a mon avis ça n'ira vu l'allure de ton équation. Je pense que les seuls sous-espaces vectoriels de IR³ sont le vide, les droites par (0,0,0) et les plans par (0,0,0)

Bloud · 10/03/2006, 20h00

Citation:

Envoyé par Bleyblue

-b) $\forall \vec{v},\vec{w}$ de ton ensemble, $\lambda \vec{v} + \mu \vec{w}$ appartient toujours à ton ensemble
$\lambda, \mu$ réels

Pour le b), vérifier que $\lambda \vec{v} + \vec{w}$ appartient à l'ensemble suffit.

Dimitri.

EDIT : je viens de remarquer que tu prends des réels d'office. Ce n'est pas très grave. Mais il n'a précisé l'ensemble des opérateurs à aucun endroit dans son énoncé. On pourrait donc prendre des nombres complexes, ou choisir les éléments d'un corps commutatif beaucoup plus amusant

.

Bloud · 10/03/2006, 20h07

Citation:

Envoyé par deb's

j'ai en face de moi des sous ensemble de R3 ET ON ME DEMANDE SI CE SONT DES SOUS ESpace vectoriel
par exemple (x-1)^2+z^2>0
Je voudrais connaitre la methode pour savoir si cette ensemble est un sous espace vectoriel
merci

Salut!
Pour en revenir à la remarque que je viens de faire à Beyblue, n'oublie pas de préciser ton ensemble des opérateurs (le corps sur lequel l'espace vectoriel est considéré). C'est vrai, qu'en pratique, il s'agit souvent $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ mais on ne sait jamais. Et on n'a pas à le deviner non plus (enfin, moi ça ne change pas ma vie, mais si ton correcteur décide de se la "jouer à la sadique", c'est gênant).

Amicalement.
Dimitri.

Bloud · 10/03/2006, 20h11

Citation:

Envoyé par Bleyblue

bonne question

Moi je prendrai v(Vx,Vy) et w(Wx, Wy) appartenant à l'ensemble et j'essaierai de montrer que (A.Vx + B.Wy, A.Vy + B.Wy) (A, B réels) appartient toujours à l'ensemble

La méthode est bonne.

Citation:

Envoyé par Beyblue

Note qu'a mon avis ça n'ira vu l'allure de ton équation. Je pense que les seuls sous-espaces vectoriels de IR³ sont le vide, les droites par (0,0,0) et les plans par (0,0,0)

Et $\mathbb{R}^3$ lui-même!!!

Juste histoire de chipoter : un espace vectoriel contient toujours le vecteur nul. Donc quand tu dis le vide, ce n'est pas tout à fait vrai

Bleyblue · 14/03/2006, 21h25

Citation:

On pourrait donc prendre des nombres complexes, ou choisir les éléments d'un corps commutatif beaucoup plus amusant

C'est vrai que c'est plus drôle de travailler sur des corps (fini) autres que R ou C

Mais deb's à préciser :

Citation:

Envoyé par deb's

j'ai en face de moi des sous ensemble de R3 ET ON ME DEMANDE SI CE SONT DES SOUS ESpace vectoriel

Citation:

Envoyé par Bloud

Et IR³ lui-même!!!

Juste histoire de chipoter : un espace vectoriel contient toujours le vecteur nul. Donc quand tu dis le vide, ce n'est pas tout à fait vrai

Oui j'ai oublié l'ev lui même et j'ai ausi oublié qu'un ev contenait d'office le vecteur nul, désolé

Bloud · 15/03/2006, 00h17

Citation:

Envoyé par Bleyblue

Mais deb's à préciser :

Citation:

Envoyé par deb's

j'ai en face de moi des sous ensemble de R3 ET ON ME DEMANDE SI CE SONT DES SOUS ESpace vectoriel

Bonsoir,
Le fait que ce sont des sous-ensembles de $\mathbb{R}^3$ n'implique pas que l'ensemble des opérateurs est $\mathbb{R}$ . En effet
$\mathbb{R}^3$ n'est pas d'office un $\mathbb{R}-ev$ . Donc cela ne change rien à ma remarque. Mais enfin ce n'est pas très grave car effectivement, on "devinait" qu'il parlait d'espaces vectoriels sur $\mathbb{R}$ .

Dimitri.

Bleyblue · 15/03/2006, 19h20

Ah bon, c'est bizarre tout de même. Un sous-ensemble de R³ peut être formé d'autre chose que de nombres réels ?

merci

P.S. : Bloud tu maîtrises la théorie des espaces vectoriels comme un mathématicien confirmé, à ton âge c'est remarquable

Bloud · 16/03/2006, 16h00

Citation:

Envoyé par Bleyblue

Ah bon, c'est bizarre tout de même. Un sous-ensemble de R³ peut être formé d'autre chose que de nombres réels ?

merci

C'est-à-dire que dans le cas présent, tu as raison : on a pas besoin de préciser l'ensemble des opérateurs si on prend comme loi externe la multiplication par un scalaire usuelle. Donc, en ce sens, ma remarque n'était pas réellement utile(étant donné que la plupart du temps, c'est cette loi qu'on utilise). Cependant, on peut très bien décider de prendre une loi externe qui ne vérifie pas $\lambda(a\,,\,b)\,=\,(\lambda{ }a\,,$ $\lambda{} b)$ et alors, il est utile de préciser l'ensemble des opérateurs (car on pourrait prendre n'importe quel corps commutatif pour le champ de scalaire tout en conservant des composantes de vecteurs réelles). J'avoue cependant avoir un peut trop chipoté ici

.

Citation:

Envoyé par Bleyblue

P.S. : Bloud tu maîtrises la théorie des espaces vectoriels comme un mathématicien confirmé, à ton âge c'est remarquable

Je suis une star !

Non, plus sérieusement, j'espère que c'est de l'humour. J'ai peut-être de bonnes bases dans la théorie des espaces vectoriels de dimension finie mais ça s'arrête là (pour l'instant en tout cas

).

Dimitri.

Moma · 16/03/2006, 16h09

Bonjour les gens,

C'est juste pour préciser que que tout corps est un caoniquement un espace vectoriel sur n'importe lequel de ses sous-corps, et donc R est aussi un Q espace vectoriel également

. (Tout comme C est un R-ev).

Amicalement,
Moma

Bloud · 16/03/2006, 17h04

Citation:

Envoyé par Bloud

car on pourrait prendre n'importe quel corps commutatif pour le champ de scalaire

Il faut bien entendu lire : on pourrait prendre un corps commutatif autre que $\mathbb{R}$ et non pas "n'importe quel"

Bloud · 16/03/2006, 17h09

Citation:

Envoyé par Moma

Bonjour les gens,

C'est juste pour préciser que que tout corps est un caoniquement un espace vectoriel sur n'importe lequel de ses sous-corps, et donc R est aussi un Q espace vectoriel également

. (Tout comme C est un R-ev).

Amicalement,
Moma

Tout à fait! Je l'avais complètement oublié! Dans ce cas, ne cherche pas une loi externe compliquée Bleyblue. Prends la multiplication par un scalaire usuelle et prend $\mathbb{Q}$ comme ensemble des opérateurs. Alors, tu as trouvé une base ???

. Elle existe mais pas facile de l'expliciter, non ?
Tout ça pour dire, qu'au travers de cet exemple, on voit bien que la précision du champ de scalaire associé à l'ev considéré est important. C'est pour cela que pour moi cela n'a aucun sens de parler d'espace vectoriel sans préciser l'ensemble des opérateurs. Même si, dans la pratique, on utilise rarement $\mathbb{Q}$ , je te l'accorde!

Dimitri.

martini_bird · 16/03/2006, 17h11

Salut,

Citation:

Envoyé par Bloud

Elle existe mais pas facile de l'expliciter, non ?

Il faut l'axiome du choix, donc pas de construction explicite.

Cordialement.

Bloud · 16/03/2006, 17h16

Citation:

Envoyé par martini_bird

Salut,Il faut l'axiome du choix, donc pas de construction explicite.

Cordialement.

Merci de la précision. Je ne savais pas que l'on devait faire intervenir l'axiome du choix (il faut dire que je n'ai pas encore étudier l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel et la théorie des ensembles en général) mais je savais qu'on ne pouvait pas l'expliciter (je l'ai lu dans une introduction d'un bouquin de mathématiques pour l'informatique où l'auteur établissait la différence entre les énoncés mathématiques d'existence effectifs et non-effectifs).

Dimitri.

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