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3 équations du second degrés et 3 inconnues



  1. #31
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues


    ------

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Les deux premières équations ne sont pas des conséquences des équations initiales, donc ne servent à rien. On trouve
    2(a * x + b * y + c * z) = 2 r²- L²
    2(d * x + e * y + f * z) = 2 r²- L²

    Je ne sais pas à quoi tu joues, je te laisse jouer seul
    J'ai joué avec le solveur et ça a marché avec vos 2 équations trouver x,y

    réponse en 26 pages Word !

    X=(1/eL²b+2/ebfz-2/ebr²-L²-2cz+2r²)/(-2/ebd+2a)
    Y=(-1/e(L²a-L²d+2afz-2ar²-2cdz+2dr²))/(-2/ebd+2a)

    Contrainte -2/ebd+2a≠0

    Et il traite tout les cas en détayant les calculs , c'est pour ça qu'il y a 26 pages

    -----
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  2. #32
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    Par contre il ne trouve pas de solution si j'ajoute la troisième équation pour trouver Z
    X=(1/e*L²*b+2/e*b*f*z-2/e*b*r²-L²-2c*z+2*r²)/(-2/e*b*d+2*a)
    Y=(-1/e*(L²*a-L²*d+2*a*f*z-2*a*r²-2*c*d*z+2*d*r²))/(-2/e*b*d+2*a)
    Z^2=r^2-X^2-Y^2

    ça réponse est : your problem was not solved so far
    traduit pas google : votre problème n'a pas été résolu à ce jour

    Pourtant, dans ces 3 équations rien ne dit si L est un arc ou une corde et on peut au moins trouver un triangle équilatéral dont les 3 points sont sur une sphère donc il y a une solution
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  3. #33
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    Je pense que cela veut dire qu'il puise dans une base de données de problème résolut car il se connecte à un serveur distant pour trouver ses réponses.
    Donc ce problème n'a pas encore été résolut
    excitant non ?
    Dernière modification par EauPure ; 25/05/2015 à 11h40.
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  4. #34
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    En fait, ce problème est un cas particulier d'un problème plus général et très connu : Trouver un point d'une sphère connaissant sa distance à 2 points de l'espace ou plus. Ou encore, trouver les intersections de trois sphères. En général il n'y a pas intersection; donc il faut de ramener à des conditions sur les paramètres où les intersections existent. On fait ça depuis le dix-huitième siècle ...
    Par contre, ton outil logiciel ne sait pas faire. C'est courant.

    Ce type de problème est à la base des méthodes de repérage GPS (la surface de la terre n'est pas une sphère), qui ne cherchent pas une valeur exacte, mais une approximation très précise (les satellites géostationnaires sont à 36 000 km pour les plus proches, certains bien plus loin et on veut un repérage à quelques dizaines de cm près).

    Pour ton problème, il est facile de voir que si L est proche de 2r, il n'y a pas de solution. Serais-tu capable de trouver une condition sur L et r pour qu'il y ait une solution ? C'est de la géométrie.

    Cordialement.

  5. #35
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    même avec L=r il n'y a pas de solution car en prenant un des points comme centre d'un cercle de rayon r=L
    si on divise ce cercle en arc de longueur L le nombre de points est de 2 pi r / L = 2 pi qui n'est pas un nombre entier de points
    si r = 2 L ça fait 4 pi L/L=4 PI
    pour que ce nombre soit entier il faut que 2 Pi r/L=entier
    Au fait comment on exprime ça en math ?
    Avec le modulo , (2 Pi r) Mod L =0 ?
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  6. #36
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    Heu ... là je ne comprends plus. Tu utilises la longueur sur le cercle, maintenant ?

  7. #37
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    Ce n'était pas le même cercle (en prenant un des points comme centre d'un cercle de rayon rc=L)
    Je voulais montrer qu'il y a autour d'un point 6 points formant 6 triangles équilatéraux
    Ces points sont sur un cercle de rayon=la corde de l'arc de longueur L sur la sphère de rayon r

    comme on part d'un segment connu on peut la calculer
    n = 2 * pi * r / L
    da = 2 * pi / n
    x1 = r * Sin(0)
    y1 = r * Cos(0)
    x2 = r * Sin(da)
    y2 = r * Cos(da)
    z1=z2=0
    La longueur de la corde = sqr((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)
    =sqr(r²*sin(da)²+(r*cos(da)-r)²)
    =sqr(r²*sin(da)²+r²cos(da)²-2*r²*cos(da)+r²)
    =sqr(r²*sin(da)²-r²cos(da)²+r²)
    =sqr(r²(1+1))
    =r * sqr(2)
    Si je ne me suis pas trompé alors
    (2 Pi r) Mod (r * sqr(2)) =0
    Mais je me suis trompé
    Dernière modification par EauPure ; 25/05/2015 à 14h29.
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  8. #38
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    Je suis allé trop vite
    =sqr(r²(sin(da)²-cos(da)²+1))
    =r*sqr(sin(da)²-cos(da)²+1)
    sin²+cos²=1 -> -cos²=sin²-1
    rc=r*sqr(sin(da)²+sin(da)²-1+1)
    rc=r*sin(da)*sqr(2)
    et (2*Pi*rc) Mod L =0
    Dernière modification par EauPure ; 25/05/2015 à 14h45.
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  9. #39
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    et 2*Pi*rc/L=6
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  10. #40
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    alors rc=6*L/(2*pi)=3*L/pi
    et rc=r*sin(da)*sqr(2)
    donc
    r*sin(da)*sqr(2)=3*L/pi

    avec
    n = 2 * pi * r / L
    da = 2 * pi / n
    da=L/r

    et enfin une relation entre r et L mais elle n'est pas simple

    L=r*pi*sin(L/r)*sqr(2)/3
    r=3*L/(pi*sin(L/r)*sqr(2))
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  11. #41
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    Je vois que personne n'arrive à résoudre cette équation et le solveur en mode free n'offre pas les fonctions trigo
    même Wolfram Alpha ne trouve pas la solution !
    http://www.wolframalpha.com/input/?i...t%282%29+%2F+3
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  12. #42
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    Je n'ai pas tout suivi, je suis resté à
    Je voulais montrer qu'il y a autour d'un point 6 points formant 6 triangles équilatéraux
    Tu est maintenant dans le plan ?
    Comme je ne vois pas le rapport avec le sujet initial, je laisse tomber.

  13. #43
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    n'importe quel plan en intersection avec la sphère de centre O donne un cercle de centre C
    et on peut diviser ce cercle en 6 arc de 120° qui donne 6 points et si on relie ces 6 points, au centre du cercle projeté sur la sphére suivant l'axe OC on a 6 triangles équilatéraux sur la sphère avec des coté sphérique.

    Pour revenir à l'équation L=r*pi*sin(L/r)*sqr(2)/3, on voit sur le graphique de wolframalpha que c'est une droite puisque L et r son positifs
    Mais elle n'est pas à 45 ° et il ne donne pas son équation
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  14. #44
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Comme je ne vois pas le rapport avec le sujet initial, je laisse tomber.
    Le voyez vous maintenant ?
    Je parle bien de 6 triangles équilatéraux sur la sphère non ?
    avec un arc et une corde je lance la flèche sur le fromage que vous laissez tomber
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  15. #45
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    Vous m'avez permis de sentir un problème dans ma démarche car les 6 arcs de longueur L de ce cercle sur la sphère ne sont pas le chemin le plus court pour relier ces points sur la sphère et ils n'ont pas la même courbure que les arcs partant du centre vers ces points.
    Donc le chemin le plus court sur la sphère entre chacun de ces points est inférieur à L
    Mais ce cercle m'a juste permis d'écrire ça 2*Pi*rc/L=6 alors je ne sais pas si ce problème est un problème
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  16. #46
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    Il doit y avoir une erreur car dans le graphique de Wolfram Alpha où x=L et y=r, sur la droite x>0 y>0
    r (y) est plus petit que L (x) ce qui n'est pas possible dans l'énoncé.

    Bonne soirée
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  17. #47
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    En cherchant la formule de la distance sur une sphère j'ai trouvé une relation entre R et L
    Le produit vectoriel p=r² * cos(da) da étant l'angle entre les vecteurs O(a,b,c) , O(x,y,z) et O(e,f,g), O(x,y,z)
    Dans la simplification des 2 équations fixant la distance entre 2 points sur la sphère de rayon 1 on trouve le produit vectoriel
    et comme da=L/r (voir #39)
    a*x + b*y + c*z = 1-L²/2 = cos(L)
    d*x + e*y + f*z = 1-L²/2 = cos(L)

    Si je ne me suis pas trompé cette simplicité est étonnante après l'équations tordu qui donne x,y fonction de z
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  18. #48
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    Je n'avais pas vérifié mais c'est une approximation qui marche quand L est petit devant R=1
    1-L²/2 = cos(L)
    L=0.1
    Cos(L)=0,995
    1-L²/2 =0,995004165278026
    L=0.5
    1-L²/2 =0,877582561890373
    Cos(L)=0,875
    Dernière modification par EauPure ; 27/05/2015 à 13h58.
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  19. #49
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    C'est là qu'on revient à la corde
    ET avec elle ce n'est plus une approximation
    J'avais fait une erreur dans mon message #37
    lc = r * Sqr(2 * (1 - Cos(da)))
    avec R=1
    da=L
    lc = Sqr(2 * (1 - Cos(L)))
    Alors si on reprend
    1-L²/2 = cos(L)
    on remplace le L qui est la norme du segment connu et donc la corde de l'arc
    1-lc²/2 = cos(L)

    Voilà pourquoi ça marche avec la corde

    1-(Sqr(2 * (1 - cos(L))))²/2=cos(L)
    1-2 * (1 - cos(L)))/2=cos(L)
    1-1 + cos(L)=cos(L)
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  20. #50
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    Citation Envoyé par EauPure Voir le message
    a*x + b*y + c*z = 1-L²/2 = cos(L)
    d*x + e*y + f*z = 1-L²/2 = cos(L)
    Il a fallu que je face une boucle sur z pour m'apercevoir lors de l'affichage du dxf que c'était l'équation d'une droite dans l'espace !
    Donc plus besoin de boucle pour trouver z
    Il suffit de faire l'intersection de cette droite avec la sphère pour trouver les 2 points des triangles équilatéraux sphérique à partir d'un segment
    C'est pas compliqué
    Code:
    Function DroiteSphere(vx, vy, vz, x0, y0, z0, r, t1, t2)
    '    x = vx * T + x0
    '    y = vy * T + y0
    '    z = vz * T + z0
    'Substituons maintenant nos x(t), y(t), z(t) dans l'équation en coordonnées cartésiennes de notre sphère.
    'Soit x² + y² + z² = R²
    'Soit (Vx * t + x0)² + (Vy * t + y0)² + (Vz * t + z0)² = R²
    '(vx * t + x0)²=vx²*t²+2*vx*t*x0+x0²
    'vx²*t²+2*vx*t*x0+x0²+vy²*t²+2*vy*t*y0+y0²+vz²*t²+2*vz*t*z0+z0²= R²
    'vx²*t² + vy²*t² +vz²*t² + 2*vx*t*x0 + 2*vy*t*y0 + 2*vz*t*z0 + x0²  + y0² +  z0² = R²
    't² * (vx² + vy² +vz²) + t * (2*vx*x0 + 2*vy*y0 + 2*vz*z0) + x0² + y0² + z0² - R²=0
    'Une équation de 2nd degré de la forme: ax² + bx + c = 0
    'Identifions nos a, b, c
    'Ici on a
        a = vx ^ 2 + vy ^ 2 + vz ^ 2
        b = 2 * vx * x0 + 2 * vy * y0 + 2 * vz * z0
        c = x0 ^ 2 + y0 ^ 2 + z0 ^ 2 - r ^ 2
        delta = b ^ 2 - 4 * a * c
        If delta > 0 Then
            t1 = (-b + Sqr(delta)) / (2 * a)
            t2 = (-b - Sqr(delta)) / (2 * a)
        End If
    End Function
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  21. #51
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    La preuve que ça marche par l'image

    Nom : SphéreTriangulée.png
Affichages : 74
Taille : 155,7 Ko
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  22. #52
    topmath

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    Bonjour :

    Ce système me rappelle la résolution algébrique d'une équation cubique !!

    Cordialement

  23. #53
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    Bonjour topmath
    Pouvez vous nous la montrer ?

    J'ai encore un problème pour trouver touts les triangles car les erreurs d’arrondi du au nombre limité de bits se cumule avec ma méthode
    Alors l'idéal serait comme pour un cercle de trouvé une division qui donne tout les vecteurs 3D partant d'un point qui ont le même angle entre eux
    a*x + b*y + c*z = cos(L)
    d*x + e*y + f*z = cos(L)
    d*a + e*b + f*c = cos(L)

    ou en coordonnée sphérique

    Cos(pa) *Cos(p) * Cos(h-ha) + Sin(p)*Sin(pa) = cos(L)
    Cos(pb) *Cos(p) * Cos(h-hb) + Sin(p)*Sin(pb) = cos(L)
    Cos(pb) *Cos(pa) * Cos(ha-hb) + Sin(pa)*Sin(pb) = cos(L)
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  24. #54
    contrexemple

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    Citation Envoyé par EauPure Voir le message
    La preuve que ça marche par l'image

    Pièce jointe 283004
    Salut,
    Tous les points ne sont pas à équidistance, pour la simple raison qu'en dimension 3, on ne peut trouver que 4 points équidistant, en dimension n, n+1.

  25. #55
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    une intuition est qu'un vecteur a toujours 6 voisins de même origine qui ont le même angle entre voisins et lui quelque soit l'angle
    Est ce démontrable ?
    Si oui peut on l'utiliser pour trouver tout les vecteurs de même origine ayant le même angle entre voisins ?
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  26. #56
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    car on pourrait alors écrire ax+by=cos(60°)=1/2
    et donc
    c*z = cos(L)-1/2
    f*z = cos(L)-1/2
    f*c = cos(L)-1/2
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  27. #57
    topmath

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    Bonjour:

    C'est pas du tout la même chose mais ça ressemble comme même un peut car la recherche des racines revient à résoudre un système de 3 équation à 3 inconnues et là c'est impossible , sauf on utilisant des méthodes algébriques tel que la méthode Cardan .

    Amicalement

  28. #58
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    Citation Envoyé par EauPure Voir le message
    car on pourrait alors écrire ax+by=cos(60°)=1/2
    et donc
    c*z = cos(L)-1/2
    f*z = cos(L)-1/2
    f*c = cos(L)-1/2
    non, tout ce qu'on peut dire c'est que la somme des angles=360 et que la somme des cosinus des angles = 0
    Par exemple, dans une orientation idéale , les vecteurs des cotés du triangle vue de dessus ont des angles de 0, 120 et 240
    en cosinus ça fait 1 -1/2 -1/2=0
    alors
    a*x + b*y + d*x + e*y + d*a + e*b=0
    ont a maintenant 4 équations du premier degrés mais 9 inconnues
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  29. #59
    EauPure

    Re : 3 équations du second degrés et 3 inconnues

    Il n'y a pas de solution car il faut dans un sens diviser 360° par L=corde du triangle
    et dans l'autre par l * Sin(pi / 3)=hauteur du triangle
    et que ça donne un nombre entier dans les 2 cas
    donc que
    2pi mod L = 0
    et
    2pi mod (l * Sin(pi / 3))=0

    ce qui est impossible il me semble

    une image pour comprendre pourquoi

    Nom : SphereTriangulée.png
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