Q est dénombrable

[max2357]

Bonjour,

J'aimerais beaucoup trouver une démonstration montrant que Q est démontrable. Etant une partie dense dans R, je ne vois pas comment faire.
Juste pour la culture...
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La succession de chercheurs est comparable à un seul homme qui apprend indéfiniment. Blaise Pascal

[Rincevent]

s'lut...

repense à sa définition et cherche une bijection avec un autre espace dont tu montres trivialement qu'il est dénombrable...

[max2357]

Mais comment montrer qu'il existe une bijection de N dans Q? C'est là le problème...

[Rincevent]

Mais comment montrer qu'il existe une bijection de N dans Q? C'est là le problème...

ok, alors disons qu'il faut têt que tu cherches pas directement entre Q et N mais entre Q et autre chose... après avoir montré que cet "autre chose" est aussi en bijection avec N... autre chose pouvant être par exemple (mais vraiment pas exemple ) un truc construit à partir de N ou de plusieurs copies de lui-même...

[max2357]

d'accord, en raisonnant avec N et Z qui sont dénombrables, on peut créer une application de N*Z vers Q. Mais ce n'est pas une bijection....

[jarjarbinks]

Bonjour à tous

Je pense à NxN vers Q, mais NxN est-il dénombrable simplement parce que N l'est ?

Là j'en sais pas assez en math pour répondre...

[max2357]

Bonjour à tous

Je pense à NxN vers Q, mais NxN est-il dénombrable simplement parce que N l'est ?

Là j'en sais pas assez en math pour répondre...

Si deux ensembles sont dénombrables, leur produit cartésien l'est. L'ennui, c'est qu'une application de NxN vers Q n'est pas surjective.

[Rincevent]

L'ennui, c'est qu'une application de NxN vers Q n'est pas surjective.

j'ai dit "bijection" moi ?

têt que l'un des deux aspects de la bijection est suffisant pour montrer que c'est dénombrable, non ?

[max2357]

C'est vrai. La surjectivité suffit pour montre que l'on peut associer à tout rationnel un élément de ZxN*

[homotopie]

Bonjour,

Quelques éléments de piste (presque complet mais ce n'est pas un exercice trivial de mettre Q en bijection avec N) :
1) D'abord se simplifier la vie:
Les rationnels se divisent en nombres strictement positifs, en nombre strictement négatifs et en 0.
Les deux premiers sont en bijection, le dernier est tout seul.
On peut peut-être trouver une décomposition de N du même type N=N1 "+" N2 "+" 1 élément tout seul.
Reste à mettre N1 en bijection avec les rationnels strictement , imiter entre N2 et les négatifs (il suffit de dire qu'on le fait) et relier les deux éléments esseulés.
2) Tout nombre rationnel strictement positif s'écrit de manière unique p/q avec p et q premiers entre eux, p et q strictement positifs.
3) Faire un grand tableau N*N*, mettre en bijection avec une partie des cases. Puis attribuer un nombre unique de N1 à chaque case de l'image de l'application précédente.

PS : c'est peut-être inutile de le préciser mais l'exposant "+" signifie qu'on ne prend que les positifs, l'exposant "*" signifie que l'on ne prend pas 0.

[g_h]

Hello,

Peut-être en commençant par montrer que tout entier relatif N non nul se décompose de façon unique sous la forme et en déduisant une bijection de sur (avec l'application N -> (p, n) )

Ensuite touver une surjection ne devrait pas trop poser de problèmes.... je crois

[g_h]

Pour détailler un peu plus :

Existence de la décomposition :

Si N est impair, il s'écrit N = 2p+1 soit (2p+1)2⁰

Si N est pair on le divise par la plus grande puissance de 2 possible (que je note P) pour que le reste euclidien soit nul, et on trouve un nombre impair Q qui est le quotient de cette division (sauf si N = 0, la décomposition n'existe pas car Q = 0 n'est pas impair)

N = P*Q avec Q = 2p+1 et Q = 2ⁿ

Ensuite, un simple théorême de Gauss permet de conclure sur l'unicité.

On tient donc notre bijection

Il existe une bijection de sur : n -> n+1

D'où une bijection de

Et on vérifie que l'application est une surjection.

D'où une surjection entre et et la dénombrabilité de