Fonction rationnelle et primitive

Bleyblue · 18/03/2006 - 21h33

Bonjour,

Pour changer un peu de l'algèbre j'ai trouvé un chouette problème dans mon livre d'analyse la tantôt :

Envoyé par Stewart

Si f est une fonction quadratique telle f(0) = 1 et si

$\Bigint \frac{f(x)}{x^2(x + 1)^3}dx$

est une fonction rationnelle, calculez la valeur de f'(0)

Voyons voir ça, si f est quadratique alors f(x) = ax² + bx + c (a,b,c des réels) mais comme f(0) = 1, f(x) = ax² + bx + 1

Du coup f'(x) = 2ax + b et f'(0) = b

Nous cherchons donc la valeur de b
Comme le degré du numérateur (2) est plus petit que celui du dénominateur (5) :

$\Bigint \frac{f(x)}{x^2(x + 1)^3}dx = A\Bigint \frac{dx}{x} + B \Bigint \frac{dx}{x^2} + C \Bigint \frac{dx}{x + 1} + D \Bigint \frac{dx}{(x + 1)^2}+ E \Bigint \frac{dx}{(x + 1)^3}$

A,B,C,D,E des réels, mais comme l'intégrale est une fraction rationnelle donc un rapport de polynôme il faut A = C = 0

Essayons de déterminer les B,D,E par la méthode classique :

B(x + 1)³ + Dx²(x + 1) + Ex² = ax² + bx + c

$\Leftrightarrow$

B(x³ + 3x² + 3x + 1) + Dx²(x + 1) + Ex² = ax² + bx + 1

$\Leftrightarrow$

(B + D)x³ + (3B + D + E)x² + 3Bx + B = ax² + bx + 1

ou trouve d'abord B = 1 et ensuite b = 3B c'est à dire b = 3 = f'(0)

Ca vous semble juste ? Il me semble que oui mais je doute toujours de moi lorsque les raisonnements se compliquent ne fut-ce qu'un tout petit peu

merci