Quelques questions de calculs différentiel et intégral
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Quelques questions de calculs différentiel et intégral



  1. #1
    Lebonhomme

    Quelques questions de calculs différentiel et intégral


    ------

    Bonjour à tous,

    Je crée ce sujet pour y poser quelques questions qui me trottent dans la tête depuis un moment :

    1) Je ne vois pas en quoi la définition d'une dérivée partielle par rapport à une variable implique qu'en pratique on la calcule en gelant les autres variables. Pour rappel la dérivée partielle d'une fonction f(x, y) (2 variables pour simplifier) par rapport à sa variable x est la dérivée directionnelle de f dans la direction (définition) :



    ... en pratique on dérivera f par rapport à x en faisant comme si y était une constante... => POURQUOI ???



    2) On considère :



    Pour montrer que f est continue en (0, 0), il faut montrer que

    Problème : Je ne sais pas calculer cette limite...



    3) Je veux calculer le volume du sous-ensemble de : D = {}

    Par définition le volume est donné par

    Pour intégrer il faut trouver l'intervalle sur lequel varient ces 3 variables. Pour z on voit vite qu'il est compris entre 0 et 1 puisque la somme de 2 carrés est positive. Après si on considère que x et y décrivent un cercle de rayon centré sur 0... on va avoir des racines toutes moches et compliquées en bornes pour x et y... et se retrouver avec une intégrale pas simple à calculer. N'y a-t-il pas un "truc" à voir pour calculer facilement cette intégrale ?



    4) Pour finir je bloque sur l'intégrale :

    J'ai essayé de faire une intégration par parties mais... je m'y casse les dents



    Voili voilou en espérant que vous aurez des pistes pour m'aider... Bon app' / bonne nuit / bonne année !

    -----
    " J'aimerais bien changer le monde mais personne ne m'a donné le code source. "

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Quelques questions de calculs différentiel et intégral

    Bonsoir.

    1) en posant g(x)=f(x,y),
    y n'est pas concerné, il ne varie pas quand a tend vers 0, donc c'est bien ce qu'on appelle une constante, non ?

    2) Bizarre ! Tu n'as pas la définition de cette limite ? Intuitivement, c'est assez évident (*). Formellement, on remplace le de la définition pour les limites de fonctions à une variable par .
    Après, il y a diverses techniques, comme par exemple de passer en polaire.

    3) Pourquoi refuser le calcul ? cependant, là encore, le rôle joué par x et y fait penser à un passage en polaire une fois la séparation entre z et les deux autres variables faite.

    4) Forme classique de dérivée u'/u^n.

    Cordialement.

    (*) quoiqu'il existe pas mal de moyens de se rapprocher de (0,0).

  3. #3
    Lebonhomme

    Re : Quelques questions de calculs différentiel et intégral

    Merci pour tes réponses gg0

    La définition de la limite en (0,0) =>

    Allons-y :


    ... et je ne vois pas quoi dire de plus !

    Ensuite pour la dérivée u'/u^n il faut que n soit un entier non ?
    " J'aimerais bien changer le monde mais personne ne m'a donné le code source. "

  4. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Quelques questions de calculs différentiel et intégral

    Rappel : Pour prouver une limite avec la définition, il faut trouver le qui convient, qui permet d'obtenir l'inégalité avec le .
    Donc ta recherche part de en remontant les implications pour arriver à .
    Pour la dérivée : " il faut que n soit un entier non ? " non ! Voir un cours sur les formules de dérivation; ou revenir à la définition avec l'exponentielle si n n'est pas un entier.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    joel_5632

    Re : Quelques questions de calculs différentiel et intégral

    bonjour

    Pour la question 3

    On peut soit découper le volume D en tranches horizontales, chaque tranche étant un disque de rayon et d'épaisseur d'épaisseur dz, puis intégrer de 0 à 1, ou bien passer en coordonnées cylindrique (r, , z)

  7. #6
    joel_5632

    Re : Quelques questions de calculs différentiel et intégral

    Pour la question 4, se ramener à

  8. #7
    Lebonhomme

    Re : Quelques questions de calculs différentiel et intégral

    @gg0 :

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    ta recherche part de en remontant les implications pour arriver à .
    Là encore je tourne en rond, je n'arrive qu'à trouver (x² + y²) > qqch :'( Comme tu t'en doutes je n'ai jamais démontré une limite à partir de la définition donc je dois mal m'y prendre ^^'

    @joel_5632 : Merci pour tes précisions !
    Dernière modification par Lebonhomme ; 30/10/2015 à 13h14.
    " J'aimerais bien changer le monde mais personne ne m'a donné le code source. "

  9. #8
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Quelques questions de calculs différentiel et intégral

    C'est bien pour cela qu'on utilise généralement d'autres méthodes, basées sur les propriétés des limites.

    Dans ton cas, le plus simple est de passer en coordonnées polaires x=r.cos(t), y=r.sin(t). Dire que (x,y) tend vers 0, c'est dire que r tend vers 0. t est l'angle entre l'axe des x et [OM), où M(x,y), et la valeur de t n'intervient pas si la limite est nulle.

    Cordialement.

  10. #9
    Lebonhomme

    Re : Quelques questions de calculs différentiel et intégral

    Oki, merci à vous pour m'avoir aidé à résoudre ces 4 problèmes !
    " J'aimerais bien changer le monde mais personne ne m'a donné le code source. "

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