Présentation d'un groupe.
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Présentation d'un groupe.



  1. #1
    invite52487760

    Présentation d'un groupe.


    ------

    Bonsoir à tous,

    Pourriez vous m'expliquer svp pourquoi le groupe fondamental de la somme connexe de tores, admet une présentation : ?.

    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    Seirios

    Re : Présentation d'un groupe.

    Bonjour,

    Une manière de le voir est de remarquer que la somme connexe de tores peut se construire comme le quotient d'un polygone à côtés. C'est plutôt classique, tu peux le voir à la main (quelques mots sont écrits ici). Ensuite, tu n'as plus qu'à appliquer le théorème de van Kampen pour calculer le groupe fondamental. Tu peux prendre un voisinage du bord du polygone et le complémentaire d'un voisinage plus fin du bord; alors , est cyclique (puisque est un anneau) et est un groupe libre (puisque est homotopiquement équivalent à un graphe).
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  3. #3
    invite52487760

    Re : Présentation d'un groupe.

    Salut Seirios :

    D'abord, je te remercie d'avoir pensé à m'aider. C'est très gentil.
    J'imagine qu'il faut établir que : , non ?
    Or : avec : : l'inclusion. ( Van Kampen + propriétés des sommes amalgamé )
    Mais, je ne sais pas comment établir que : et malgré tes explications Seirios.

    Merci d'avance pour l'aide.
    Dernière modification par chentouf ; 14/11/2015 à 13h37.

  4. #4
    invite52487760

    Re : Présentation d'un groupe.

    J'ai compris pourquoi : , parce que le groupe fondamental d'un graphe connexe est un groupe libre, j'ai vu ça dans mon cours tout à l'heure. Il reste à justifier pourquoi : . Pouvez vous m'aider là dessus svp ?
    Merci d'avance.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Seirios

    Re : Présentation d'un groupe.

    Pour ça, il te faut dessiner ton graphe, et regader le lacet correspondant à l'image de . En l'occurrence, ton graphe est un bouquet de cercles, donc il n'est pas difficile d'en trouver une base libre, et ensuite il n'y a plus qu'à exprimer le lacet image de dans cette base.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  7. #6
    invite52487760

    Re : Présentation d'un groupe.

    Le graphe est un bouquet de cercles, donc, son groupe fondamental est un groupe libre de rang , notons sa partie génératrice correspondant aux cercles orientés du bouquet. Qu'est ce que ça veut dire : ... le lacet correspondant à l'image de ?. Tu prends un lacet quelconque : ?

  8. #7
    Seirios

    Re : Présentation d'un groupe.

    Ce que je veux dire, c'est que est un groupe infini cyclique, donc son image dans sera engendré par un lacet . Maintenant, il te faut exprimer sur la partie génératrice de pour en déduire une présentation de .
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  9. #8
    invite52487760

    Re : Présentation d'un groupe.

    Merci, mais, je ne comprends pas pourquoi : est un groupe infini cyclique.

  10. #9
    Seirios

    Re : Présentation d'un groupe.

    Parce que est un anneau, donc homotopiquement équivalent à un cercle !
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  11. #10
    invite52487760

    Re : Présentation d'un groupe.

    C'est bizarre. Je n'ai jamais rencontré une telle notion d'anneau en topologie algébrique.
    Donc : avec : , non ?
    On a : .
    Alors, je ne comprends pas pourquoi : .

  12. #11
    invite52487760

    Re : Présentation d'un groupe.

    Ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_polygon , on parle de : et . Quelle est topologiquement la différence ?
    Merci d'avance.

  13. #12
    Seirios

    Re : Présentation d'un groupe.

    Par "anneau", j'entends quelque chose homéomorphe à ; un anneau donc Il est clair que est infini cyclique, engendré par le lacet par exemple. Est-ce plus clair ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  14. #13
    invite52487760

    Re : Présentation d'un groupe.

    Ah d'accord, merci.
    Pourquoi : ?
    Merci d'avance.

  15. #14
    invite52487760

    Re : Présentation d'un groupe.

    Parce que : est engendré par la classe : , non ? mais, je ne vois pas pourquoi.
    Dernière modification par chentouf ; 14/11/2015 à 20h32.

  16. #15
    invite52487760

    Re : Présentation d'un groupe.

    Vous m'avez proposé le lien ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Surfac..._from_polygons
    Pour : , ça donne un - gone ( Un carré ), mais, je ne comprends pas pourquoi le groupe fondamental d'un carré est engendré par la classe de son contour : . Le contour est homotope à un lacet constant puisque le carré est contractile. Bref, pouvez vous m'éclaircir ce point svp ?
    Merci d'avance.
    Dernière modification par chentouf ; 14/11/2015 à 20h50.

  17. #16
    Seirios

    Re : Présentation d'un groupe.

    Tu ne regardes pas le carré, mais son quotient, de sorte que le contour n'est pas homotopiquement trivial ! Tu dois pouvoir dessiner un graphe homotopiquement équivalent à (pour mes notations du message #2), regarder le lacet engendrant l'image de dans , et pouvoir exprimer tout ça sur une base fixée. Pour te faire les dents, tu peux effectivement commencer par le tore, qui est plus facile.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  18. #17
    invite52487760

    Re : Présentation d'un groupe.

    D'accord, on restreint alors l'étude au tore , qui est le quotient d'un carré, n'est ce pas ?
    U est un voisinage du contour du carré. Le contour du quotient du carré est un bouquet de deux cercles : et .
    On pose : .
    , non ?.
    . Parce que, avec : , on ne peut construire que des mots copies de : plusieurs fois, en supprimant : , non ?
    Merci d'avance.

  19. #18
    Seirios

    Re : Présentation d'un groupe.

    Citation Envoyé par chentouf Voir le message
    Le contour du quotient du carré
    C'est plutôt le quotient du contour du carré.

    , non ?
    Pourquoi ?

    .
    Es-tu en train d'écrire que le groupe libre à deux générateurs est égal au sous-groupe cyclique engendré par ? Parce que ce serait dire n'importe quoi...

    Je n'arrive pas bien à me rendre compte : parviens-tu à dessiner l'image du lacet dans ton bouquet de cercles ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  20. #19
    invite52487760

    Re : Présentation d'un groupe.

    Citation Envoyé par Seirios Voir le message
    Je n'arrive pas bien à me rendre compte : parviens-tu à dessiner l'image du lacet dans ton bouquet de cercles ?
    Non, pas du tout.

  21. #20
    invite52487760

    Re : Présentation d'un groupe.

    Citation Envoyé par Seirios Voir le message
    Es-tu en train d'écrire que le groupe libre à deux générateurs est égal au sous-groupe cyclique engendré par ?
    , non ? Il n'est donc, pas cyclique.
    Comment trouver l'image du lacet ?
    Merci d'avance.

  22. #21
    Seirios

    Re : Présentation d'un groupe.

    Citation Envoyé par chentouf Voir le message
    Non, pas du tout.
    Du coup, reprenons depuis le début, dans le cas du tore pour faire simple. Le tore est donc le quotient d'un carré, sur lequel on définit et . Maintenant, peux-tu dessiner et sur le tore ?

    Citation Envoyé par chentouf Voir le message
    , non ? Il n'est donc, pas cyclique.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  23. #22
    invite52487760

    Re : Présentation d'un groupe.

    est un voisinage du bouquet de deux cercles sur la surface du tore.
    est le complémentaire d'un voisinage plus fin du bouquet de deux cercles sur la surface du tore.
    Peux tu m'expliciter stp pour voir plus claire ?
    Merci d'avance.

  24. #23
    Seirios

    Re : Présentation d'un groupe.

    Citation Envoyé par chentouf Voir le message
    est un voisinage du bouquet de deux cercles sur la surface du tore.
    est le complémentaire d'un voisinage plus fin du bouquet de deux cercles sur la surface du tore.
    Mais est-ce que tu peux le dessiner, en faisant bien apparaître ? Je te demande ça parce que, si tu arrives à le visualiser, en principe il ne devrait plus y avoir de problème.

    Peux tu m'expliciter stp pour voir plus claire ?
    C'est le groupe fondamental d'un bouquet de deux cercles... C'est un exemple basique, donc si cela te pose problème, peut-être devrais-tu le travailler un peu plus avant de revenir sur les surfaces.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  25. #24
    invite52487760

    Re : Présentation d'un groupe.

    Salut :

    J'ai fait le dessin de , et j'obtiens comme une ''corde épaisse'' fermée ( i.e : ).
    Comment j'en déduis le résultat ?

    Merci d'avance.

  26. #25
    invite52487760

    Re : Présentation d'un groupe.

    ( Produit libre ), non ?

  27. #26
    Seirios

    Re : Présentation d'un groupe.

    Citation Envoyé par chentouf Voir le message
    J'ai fait le dessin de , et j'obtiens comme une ''corde épaisse'' fermée ( i.e : ).
    Comment j'en déduis le résultat ?
    Maintenant, tu dois remarquer que ton engendre le groupe fondamental . Mais ce lacet est également inclus dans , donc c'est un élément de . Autrement dit, à homotopie près, c'est un lacet dans un bouquet de deux cercles. Et bien tu as tous les éléments en main pour dessiner ce lacet. C'est bon ?

    Citation Envoyé par chentouf Voir le message
    ( Produit libre ), non ?
    Si je te donne un bouquet de n cercles, le groupe fondamental est un groupe libre de rang n. Peux-tu m'en donner une base en termes de lacets dans ce bouquet ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  28. #27
    invite52487760

    Re : Présentation d'un groupe.

    Pour dessiner un lacet dans un bouquet de deux cercles, je pars du point de raccordement des deux cercles, puis je fais le tour d'un des deux cercles pour arriver à nouveau au point de raccordement, puis je fais le tour du second cercles pour arriver une nouvelle fois au point de raccordement. Est ce ça la méthode ?. Donc, le lacet s'exprime dans ce bouquet par : avec : : le tour du premier cercle , suivi du tour du second cercle : , pour arriver au point de raccordement, non ?
    Merci d'avance.
    Dernière modification par chentouf ; 15/11/2015 à 18h04.

  29. #28
    Seirios

    Re : Présentation d'un groupe.

    C'est-à-dire que tu ne réponds à aucune de mes deux questions, donc je ne saurais pas dire si c'est correct à partir du moment où je ne sais pas à quoi tu réponds...
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  30. #29
    invite52487760

    Re : Présentation d'un groupe.

    J'ai répondu à ta question : dessiner le lacet qui engendre dans un bouquet à deux cercles. c'est ce que j'ai fait je pense.
    Dernière modification par chentouf ; 15/11/2015 à 18h36.

  31. #30
    Seirios

    Re : Présentation d'un groupe.

    D'accord, mais dans ce cas ta réponse n'est pas correcte. Si tu suis bien le lacet, tu devrais t'enrouler plusieurs fois autour des boucles de ton bouquet de cercles.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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