Convergence série
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Convergence série



  1. #1
    nrj06

    Convergence série


    ------

    Bonjour, voici l'énoncé du problème et de la question que je n'arrive pas à effectuer :
    On considère la suite (un) définie par u1 = 1/2 et un+1 = un-un2

    Montrer que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite. OK
    Prouver la convergence de la série un2

    Je suppose qu'il faut majorer la suite (un2) par une autre suite vn. Dire que la série vn converge et ainsi on pourra appliquer le théorème de comparaison des séries à termes positifs mais je bloque...

    -----

  2. #2
    pm42

    Re : Convergence série

    Par hasard, u ne ferait pas l'affaire pour majorer ?

  3. #3
    nrj06

    Re : Convergence série

    Si... on sait que la suite (un) converge d'après la première question, je peux en déduire directement que la série de terme général un converge ? Je ne pense pas

  4. #4
    nrj06

    Re : Convergence série

    Il faut que je calcule la suite des sommes partielles de un ?
    Moi j'écrirai, je pose Tn = u1 + u2 + ... + un qui tend vers 0 en + l'infini (d'après la première question)
    Donc la série de terme général un converge
    Dernière modification par nrj06 ; 29/11/2015 à 21h50.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    pm42

    Re : Convergence série

    Tu as raison, j'ai lu trop vite. Pas d'idée sur le moment.

  7. #6
    nrj06

    Re : Convergence série

    Ce n'est pas bon ??

  8. #7
    Tryss2

    Re : Convergence série

    Je n'ai pas vraiment compris. Pourquoi tu calcules la somme des alors que c'est la somme des qui t'intéresses.

    Sinon, par définition . La somme fait alors étrangement penser à une somme télescopique

  9. #8
    nrj06

    Re : Convergence série

    Oui mais je ne connais pas l'expression de un

  10. #9
    nrj06

    Re : Convergence série

    Si je sais que la série de terme général un converge alors par théorème la série de terme général un^2 converge

  11. #10
    Tryss2

    Re : Convergence série

    Mais tu n'a pas besoin d'avoir l'expression de u_n ! Tu as essayé d'écrire les premiers termes de la somme partielle des (u_n)^2 avec l'indication que je t'ai donné?

  12. #11
    nrj06

    Re : Convergence série

    oui il reste un+1

  13. #12
    Tryss2

    Re : Convergence série

    Et tu ne viens pas de prouver que u_n converge? (et donc u_{n+1})

  14. #13
    nrj06

    Re : Convergence série

    si, c'est un théorème ça ? parce que un+1 est une suite extraite ?

  15. #14
    Tryss2

    Re : Convergence série

    Formellement, c'est une suite extraite, mais en gros c'est la même suite, qui commence juste un terme plus tard. Le comportement à l'infini serra donc le même.

    Mais si tu veux une preuve :

    Soit , alors il existe tel que quelque soit

    Donc, en posant , il existe tel que quelque soit

    Ainsi, en posant , il existe tel que quelque soit

    Donc

  16. #15
    nrj06

    Re : Convergence série

    D'accord merci beaucoup.

    Je vais encore vous embêter pour la question qui suit. Il s'agit de montrer pour tout n appartenant à N*, un = u1 x (produit de k allant de 1 à n-1) (1-uk)

    Je pense qu'il faut faire une récurrence mais je n'arrive pas à démarrer

  17. #16
    Tryss2

    Re : Convergence série

    Sinon, et à titre d'information, il me semble que la série des u_n ne converge pas : u_n à l'air d'être équivalent à 1/n

  18. #17
    nrj06

    Re : Convergence série

    Ah bon comment avez-vous trouver ceci ?

  19. #18
    Tryss2

    Re : Convergence série

    Et si je l'écrit comme ça :


  20. #19
    Tryss2

    Re : Convergence série

    Citation Envoyé par nrj06 Voir le message
    Ah bon comment avez-vous trouver ceci ?
    Juste du calcul numérique, donc pas de preuves (mais u_n*n à l'air de bien converger vers 1, et assez franchement)

  21. #20
    nrj06

    Re : Convergence série

    Donc ce n'est pas une récurrence...
    C'est assez ressemblant on passe de un+1 à un en enlevant 1 donc que le produit se termine à n-1 est logique mais c'est ce u1 qui me gêne encore

  22. #21
    Tryss2

    Re : Convergence série

    En fait, il y a une convention à savoir : Pour n = 1 , le produit est "vide", il est donc égal à 1.

    n'a pas de sens à priori, donc, par convention, c'est 1. C'est comme quand tu fais l'union de "rien", ça te donne l'ensemble vide.

    Mais c'est bien une récurrence, elle est juste simple (on dirai "par une récurrence immédiate" si on a un peu de bouteille)

  23. #22
    Tryss2

    Re : Convergence série

    Sinon, pour montrer que Un est équivalent à 1/n :

    Soit , on cherche alors un a tel que

    Par développement limité,

    Donc

    Et ceci tend vers 0 si et seulement si a = -1

    On a donc

    Et alors, on somme :



    C'est à dire



    Ou encore


  24. #23
    nrj06

    Re : Convergence série

    Merci, mais c'est pour la partie hérédité que je m'embrouille...

  25. #24
    nrj06

    Re : Convergence série

    En fait je n'arrive pas à retrouver un+1 avec l'expression sous forme de soustraction un-un^2 avec les produits..

  26. #25
    Tryss2

    Re : Convergence série



    Puis par hypothèse de récurrence


    D'où le résultat

  27. #26
    nrj06

    Re : Convergence série

    Merci !!
    Comment à partir de ça, en déduire la nature de la série ln(1-un) ?

  28. #27
    Tryss2

    Re : Convergence série

    Il faut se servir du fait que ln(a)+ln(b) = ln(ab) pour faire apparaitre l'expression d'avant

  29. #28
    nrj06

    Re : Convergence série

    J'ai posé vn = ln(1-un) et Tn = somme des vk de k allant de 1 à n

    je peux écrire Tn = ln (produit (1-uk) de k allant de 1 à n)) ?

    Je sais pas si c'est clair...

  30. #29
    Tryss2

    Re : Convergence série

    Oui, pourquoi ne pourrai tu pas le faire?

  31. #30
    nrj06

    Re : Convergence série

    Et ensuite je remplace le produit par un/u1 ?

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