L'infini ? Parlons-en.

[pierrepons]

Bonsoir,

Je fus stoppé vers la 5e minute de cette vidéo,
https://www.youtube.com/watch?v=1YrbUBSo4Os
qui, si elle est bien expliquée par un Youtubeur très sympathique et qualifié, fait l'exposé d'une théorie qui va à l'encontre de la (on va dire ma) raison.
Prenons ainsi l'expérience de l'Hôtel de Hilbert :
si on peut déplacer les personnes de l'hôtel, ou un nombre, vers la droite, c'est bien qu'il restait des cases vides, donc que le nombre d'occupants (ou nombres considérés) n'était pas infini au départ.
Si pour un cardinal # existe un nombre, alors aucun nombre ne peut y être ajouté du côté non borné.
Ainsi dans N, la borne à gauche étant 0 (tradition francophone), on peut effectivement tracer une suite où chaque élément serait représenté par un nombre. Bien que cet ensemble de nombres soit infini vers la droite, il ne l'est pas vers la gauche. Il s'agit d'un ensemble nécessairement plus fini qu'un autre non-borné ni à droite ni à gauche.
On pourra ainsi mettre autant de nombres que l'on veut à droite pour N, mais 2 fois plus pour Z (à une unité près si on prend le système francophone, puisqu'il comprend le 0 qui n'a pas de doublon).

Ce genre de théorie sera acceptée peut-être éternellement, car elle dépend uniquement des qualités de théoriciens, et ne pourra être réfutée puisque inapplicable dans le monde physique, et donc irréfutable expérimentalement.
Mais on pourrait imaginer un univers physique infini "à droite" (borné d'un côté mais pas de l'autre où il s'étendrait à l'infini), et un autre qu'on pourrait juxtaposer sur celui-ci mais qui s'étendrait à l'infini "des deux côtés", on trouverait toujours des théoriciens pour nous dire qu'il sont de même grandeur. Personnellement je n'adhère pas, quel que soit le prestige et la qualité intellectuelle des intervenants dans d'autres domaines.

Voici où cela coince : on considère, dans la théorie en cours, avoir dénombré les nombres 1 à 1 (malgré le fait qu'on considère l'ensemble infini comme indénombrable), puisque, pour prétendre pouvoir "déplacer" les nombres vers la droite, il faut que l'énumération de l'ensemble soit finie, arrêtée. En effet pour qu'un nombre soit "déplacé d'un rang", ou en d'autres termes que x devienne x+1, il faut que x soit défini dans son cardinal. En d'autres terme que tout x de l'ensemble soit défini, pour que puisse commencer la nouvelle attribution des cardinaux. Ainsi x devient x+1, X+1 devient x+2, etc. pour chacun des nombres de l'ensemble. Cette attribution généralisée ne pouvant se faire que si tous les cardinaux sont attribués, ou, que chaque x soit dénombré.
Si tout élément de l'ensemble n'a pas été attribué, à aucun moment ne peut être attribué de nouveau cardinal à un nombre non dénombré.

Ce qui amène à un constat : les ensembles infinis ne sont pas dénombrables de manière statique, au contraire des ensembles finis. Ainsi pour tout cardinal d'un ensemble fini peut être attribué un nombre, de manière statique, déterminée. Alors que les ensembles infinis sont, au choix, indénombrables statiquement, ou dénombrables dynamiquement.
En effet, le dénombrement des ensembles infinis ne se fait pas "une fois pour toutes", mais "autant que l'on veut", ce dénombrement se poursuivant de manière non bornée. Entre ainsi en jeu la notion temporelle dans le dénombrement des ensembles infinis, avec dénombrement infini en durée.

C'est pourquoi, lorsqu'on dénombre l'ensemble des nombres dans N, commençant par la borne à gauche (0 ou 1), on a affaire à un dénombrement infini vers la droite.
Mais lorsqu'on dénombre un ensemble (disons E) qui comprend l'ensemble N plus le nombre -1, la borne à gauche, moins restrictive d'un nombre (ou de deux), fait entamer l'énumération d'une unité ou cardinal supplémentaire concernant E. Commençant ainsi l'énumération des ensembles respectifs E et N, le premier ensemble (E) comprendra toujours un ou deux cardinaux de plus que N.
Il est ainsi effectivement supérieur à N.
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[gg0]

Bonjour.

Quand on veut raisonner sur l'infini, il faut abandonner ses présupposés. Tout ce qui concerne le fini (comme la notion de dernier terme, ou la symétrie entre début et fin). mais aussi éviter les affirmations de principe, déjà fausses dans le fini. Je note dès le début ceci :
"si on peut déplacer les personnes de l'hôtel, ou un nombre, vers la droite, c'est bien qu'il restait des cases vides" ?? Pourquoi ça ? Même avec 10 chambres, on peut déplacer chaque occupant vers la droite sans place libre, si les chambres sont en cercle. Ce qui est différent pour une infinité de nombre, c'est que l'application est x->x+1 et que 0 n'est pas un x+1, ce qui libère une place. Mais en remplaçant chaque entier par son suivant, il n'y a pas de problème, on obtient bien toujours un entier pour le suivant.

Je ne continue pas à commenter ton long message, je t'invite simplement à vraiment réfléchir sans préjugé, l'exsprit ouvert. Et éventuellement à faire les mathématiques correspondantes, puisqu'il ne s'agit en aucun cas de situation concrète, mais de théorie mathématique (*).

Cordialement.

(*) on trouve aussi d'autres théories sur l'infini, non mathématiques, généralement assez fumeuses.

[pierrepons]

Pourquoi ça ? Même avec 10 chambres, on peut déplacer chaque occupant vers la droite sans place libre, si les chambres sont en cercle.

Cela ne s'applique pas au cas présent, le déplacement vers la droite est dans le but de libérer des cases, et non pas de permuter.

Je ne continue pas plus.

[azrubel]

On a commencé notre discussion dans les commentaires de la vidéo reste donc pour moi de réussir a vous convaincre

En mathématique on différencie les ensembles finis, les ensembles dénombrables et les ensembles indénombrables (même si il est vrai on met souvent les ensembles finis dans les ensembles dénombrables). Vous dites que la ou ça coince c'est que pour pouvoir déplacer vers la droite il faut que l'énumération soit finie. Cela signifie-t-il donc que tout les nombres entiers positifs ne seraient pas bien rangés chacun dans leur case (ou chambre pour l'hôtel)?

Imaginons que l'on possède donc un hôtel tel que hilbert nous le décrit et que chaque chambre soit prise. On peut aussi supposer qu'il y a un interphone permettant de parler instantanément à chaque personne présente dans l'hôtel. Ainsi on demande a tout le monde de sortir de sa chambre et dans un même mouvement se déplacer vers la droite (c'est à dire faire +1). Je ne voit pas pourquoi il serait obligatoire d'avoir un ensemble fini pour faire déplacer tout le monde.

Une autre manière de voir les choses est que plutôt que d'avoir un hôtel on a une corde avec des noeuds espacés régulièrement et ce jusque l'infini. Que se passe-t-il lorsque l'on tire sur cette corde (infini soit dit en passant) vers la gauche jusqu'à ce que le noeud qui était en deuxième position se retrouve à la place de la première? Et (puisque j'ai tout le temps devant moi ) si je décide de tirer sur cette corde indéfiniment que se passe t'il? Je finirais par "me rapprocher" de l'infini de l'autre coté. Mais pour autant ma corde étant infini à droite j'aurais beau tirer dessus il en restera toujours une infinité à droite.

Si au final de manière plus formelle on dit que deux ensemble A et B ont le même cardinal si et seulement si il existe une application de A dans B tel que, à un élément de A on associe un et un seul élément de B. Cette définition est très intuitive dans le cas fini si on a 627 balles et que l'on a 627 raquettes on va bien pouvoir associer a chaque balle un et une seule raquette. Par contre si on a 627 balles et 626 raquettes il nous restera une balle dans les mains et donc les deux ensemble n'ont pas le même cardinal c'est à dire pas le même nombre d'élément.

Dans l'exemple avec les ensemble E et N si à un élément x de E on associe x+1 (on a bien que x+1 appartient bien à N ). L'application que je viens de créer vérifie bien que à un élément de E j'associe un et un seul élément de N et donc les deux ensemble E et N on le même cardinal par la définition que je viens de donner.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Effectivement, Pierrepons,

il vaut mieux ne pas continuer, si tes phrases n'ont pas de sens en elles-mêmes, donc si tes "arguments" ne sont que des mots sans signification :
Tu as parlé de "places libres", je t'ai parlé places libres. Si la question est celle des places libres, tu t'es trompé. Si ce n'est pas une question de places libres, il ne fallait pas en parler.

Désolé !

[PlaneteF]

Bonsoir,

@pierrepons,

L'Hôtel de Hilbert, pour le logement d'un nouveau client, est juste une illustration imagée pour tout public, du fait que la fonction est bijective (ce qui est trivial à démontrer), et donc que et ont le même cardinal.

C'est tout !

On peut passer au sujet suivant

Cordialement

[pierrepons]

Il plus facile d'être impressionné devant des formules propres qui semblent plus "objectives" qu'avoir la compréhension réelle du phénomène qu'on est en train d'étudier.

Et que, par exemple, dans le cas présent, la bijection "x -> x+1" peut sembler facilement identifiable, hormis que dans ce cas-ci x n'est pas forcément défini au moment où la bijection est posée. Tout comme les différents cardinaux ne sont pas définis, appartenant pour certains à "..." (ou les 3 petits points de [0, 1, 2, 3, 4, ...]).
Ce x étant indéfini quant à sa valeur au moment où la bijection est posée, on peut en dire n'importe quoi, y compris que le cardinal suivant n'est pas attribué, ou que l'infini a été bien étrangement stoppé pour satisfaire la théorie. Puisque si ce n'est pas le cas, à aucun moment ne peut être appliquée la bijection x+1 à un nombre supposé ne pas avoir de nombre plus grand que lui, ce qui est le cas du nombre placé à droite de la suite [0, 1, 2, 3, ...].

[Médiat]

nombre placé à droite de la suite [0, 1, 2, 3, ...].

Et quel est-il ?

Evidemment, on peut en placer un mais alors la fonction qui a x fait correspondre x+1 n'est plus une bijection (elle n'est même pas définie partout), il est cependant facile d'en trouver une autre, mais qui, évidemment, n'est plus croissante

[pm42]

Et que, par exemple, dans le cas présent, la bijection "x -> x+1" peut sembler facilement identifiable, hormis que dans ce cas-ci x n'est pas forcément défini au moment où la bijection est posée. Tout comme les différents cardinaux ne sont pas définis, appartenant pour certains à "..." (ou les 3 petits points de [0, 1, 2, 3, 4, ...]).
Ce x étant indéfini quant à sa valeur au moment où la bijection est posée, on peut en dire n'importe quoi, y compris que le cardinal suivant n'est pas attribué, ou que l'infini a été bien étrangement stoppé pour satisfaire la théorie. Puisque si ce n'est pas le cas, à aucun moment ne peut être appliquée la bijection x+1 à un nombre supposé ne pas avoir de nombre plus grand que lui, ce qui est le cas du nombre placé à droite de la suite [0, 1, 2, 3, ...].

Je ne suis pas sur que cela signifie quelque chose du tout.
"x n'est pas forcément défini" est un peu le principe de toute définition de fonction.
J'ai aussi du mal à voir ce qu'est un cardinal qui appartient à "..." ou un nombre "à droite de ...".

[Médiat]

@pierrepons, vous pourriez lire ceci :

http://forums.futura-sciences.com/ma...-ensemble.html

[pierrepons]

Et quel est-il ?

Nous sommes dans l'ensemble N.
En tant que nombre il ne peut être énuméré statiquement (puisque cela supposerait qu'on a interrompu à un certain moment la progression vers l'infini de la suite des nombres).

le dénombrement des ensembles infinis ne se fait pas "une fois pour toutes", mais "autant que l'on veut", ce dénombrement se poursuivant de manière non bornée. Entre ainsi en jeu la notion temporelle dans le dénombrement des ensembles infinis, avec dénombrement infini en durée.

Il peut ainsi être
- soit énuméré dynamiquement (présenté en tant que nombre) : "le terme issu de la suite se prolongeant infiniment de [0, 1, 2, 3, ...]".
Avant que de vouloir lui attribuer une unité supplémentaire (ou effecteur la bijection x -> x+1), il faudrait au préalable avoir énuméré infiniment la suite des nombres, ce qui est contradictoire. En effet, pour attribuer à un nombre une bijection x -> x+1, il faut que ce nombre soit arrêté, défini, borné (par sa valeur). Ce qui est contradictoire avec l'énumération dynamique, "qui ne cesse jamais".
- soit défini statiquement (présenté en tant que définition, ce qui se fait en exposant ses propriétés). C'est ainsi le nombre situé à droite de la suite [0, 1, 2, 3, ...], ce qui signifie qu'il constitue la borne à droite de cette suite, ou qu'aucun autre nombre ne peut être situé plus à droite que lui dans cet ensemble, et que l'on nomme ∞. Où ∞ correspond au terme extrême (ou final) de la suite infinie des entiers naturels.
Il est ainsi absurde de dire qu'il existe un nombre x, dans N, tel que [0, 1, 2, 3, ..., ∞, x], puisque ∞ est par définition la borne à droite de la suite des entiers naturels, et que, si cet infini ne peut être énuméré en tant que nombre, c'est parce qu'il ne représente pas un nombre "pur" (seul), mais est le résultat d'une suite de nombres s'inscrivant dans la temporalité d'une énumération infinie en durée.

[Médiat]

Nous sommes dans l'ensemble N.
En tant que nombre il ne peut être énuméré statiquement (puisque cela supposerait qu'on a interrompu à un certain moment la progression vers l'infini de la suite des nombres).

Aucune signification mathématique

Il peut ainsi être
- soit énuméré dynamiquement (présenté en tant que nombre) : "le terme issu de la suite se prolongeant infiniment de [0, 1, 2, 3, ...]".
Avant que de vouloir lui attribuer une unité supplémentaire (ou effecteur la bijection x -> x+1), il faudrait au préalable avoir énuméré infiniment la suite des nombres, ce qui est contradictoire. En effet, pour attribuer à un nombre une bijection x -> x+1, il faut que ce nombre soit arrêté, défini, borné (par sa valeur). Ce qui est contradictoire avec l'énumération dynamique, "qui ne cesse jamais".
- soit défini statiquement (présenté en tant que définition, ce qui se fait en exposant ses propriétés). C'est ainsi le nombre situé à droite de la suite [0, 1, 2, 3, ...], ce qui signifie qu'il constitue la borne à droite de cette suite, ou qu'aucun autre nombre ne peut être situé plus à droite que lui dans cet ensemble, et que l'on nomme ∞. Où ∞ correspond au terme extrême (ou final) de la suite infinie des entiers naturels.
Il est ainsi absurde de dire qu'il existe un nombre x, dans N, tel que [0, 1, 2, 3, ..., ∞, x], puisque ∞ est par définition la borne à droite de la suite des entiers naturels, et que, si cet infini ne peut être énuméré en tant que nombre, c'est parce qu'il ne représente pas un nombre "pur" (seul), mais est le résultat d'une suite de nombres s'inscrivant dans la temporalité d'une énumération infinie en durée.

Toujours aucune signification mathématique

[pierrepons]

Toujours aucune signification mathématique

J'y vois pour ma part la signification de ce qu'est l'infini. Au contraire de la simple écriture, ou formalisation, qui pourrait en découler, afin de l'objectiver. Formalisme biaisé si la signification réelle n'est pas établie préalablement.
Parce qu'avant de poser un problème, sous forme mathématique, il faut d'abord le comprendre.

Si je ne sais ce que sont des droites ou des parallèles, et ne les définis pas conceptuellement, tout le formalisme du monde ne vaudra rien, puisqu'il ne se base sur rien de concret.
S'il n'y a pas d'idée ou de concept derrière les formules, ce ne sont que des artefacts graphiques. Après libre à chacun d'y voir à la fois le fond et la forme des mathématiques.

[pm42]

J'y vois pour ma part la signification de ce qu'est l'infini.

Tant mieux pour toi mais comme tout ce que tu affirmes est faux, aussi bien mathématiquement qu'epistémologiquement, tu vas ne peux parler qu'avec toi même.

[Dynamix]

puisque ∞ est par définition la borne à droite de la suite des entiers naturels

Si l' ensemble est borné , il n' est pas infini .
L' infini n' est pas un nombre entier , il ne fait pas partie de l' ensemble .
[0, 1, 2, 3, ..., ∞] n' est donc pas l' ensemble des entiers+ .

[pierrepons]

Si l' ensemble est borné , il n' est pas infini

Voir plus bas, la borne concerne soit un nombre issu d'une énumération infinie en durée (elle est donc bien infinie), soit une élément (∞) dont la propriété est d'être issu d'une suite infinie (elle est donc infinie).

L' infini n' est pas un nombre entier

soit énuméré dynamiquement (présenté en tant que nombre) [...] soit défini statiquement

si cet infini ne peut être énuméré en tant que nombre, c'est parce qu'il ne représente pas un nombre "pur" (seul), mais est le résultat d'une suite de nombres s'inscrivant dans la temporalité d'une énumération infinie en durée.

[ansset]

J'y vois pour ma part la signification de ce qu'est l'infini..

il ne semble pas, puisque vous passez votre temps à l'interpréter justement comme fini.
je prend deux exemple:
soit le segment [0;1] dans les réels
et l'application f(x)=2x.
j'ai bien une bijection entre mon espace de départ et mon espace d'arrivée.
de [0;1] dans [0;2] , et pourtant avec ma règle , il ne semble pas de même longueur.
il a t il qcq chose de faux .
autre exemple :
on peut construire une bijection entre l'ensemble des entiers et celui des rationnels, cela est il "faux".?

[Dynamix]

tout le formalisme du monde ne vaudra rien, puisqu'il ne se base sur rien de concret

Si les mathématiciens avaient raisonné comme ça , ils n' auraient jamais inventé les imaginaires .
Ni même l' infini .
Même pas les réels , que les romains n' acceptaient pas . C' est d' ailleurs pour ça que le calendrier comptait 365,25 jours alors que le romains et leurs successeurs savaient que ce n' était pas exact .

[ansset]

S'il n'y a pas d'idée ou de concept derrière les formules, ce ne sont que des artefacts graphiques. Après libre à chacun d'y voir à la fois le fond et la forme des mathématiques.

libre à chacun plutôt de "comprendre" ces idées et concepts. ( ou pas )
mais si on part du principe que ce que ne comprend pas pierrepons lui même n'est "qu'artefact graphique".
il va falloir limiter le champ des discussions.

[pierrepons]

et pourtant avec ma règle

Plaît-il ?

tout le formalisme du monde ne vaudra rien, puisqu'il ne se base sur rien de concret

Si les mathématiciens avaient raisonné comme ça

Bravo, vous supprimez la proposition "si" d'un raisonnement "si... alors" et vous parlez d'un raisonnement.

[pm42]

Plaît-il ?
Bravo, vous supprimez la proposition "si" d'un raisonnement "si... alors" et vous parlez d'un raisonnement.

Vu que vous ne maitrisez pas les concepts élémentaires que vous prétendez traiter, que tous vos "raisonnements" sont faux, il serait de bon goût d'être un peu humble et un peu moins méprisant avec vos contradicteurs.

[ansset]

Plaît-il ?
.

ais je bien une bijection via f(x) entre [0;1] et [0;2] ( soit [0;1]U[1;2] ) dans R.

[Dynamix]

Bravo, vous supprimez la proposition "si" d'un raisonnement "si... alors" et vous parlez d'un raisonnement.

Je n' ais gardé que ce petit bout car il est révélateur d' un état d' esprit vis à vis des mathématiques .
Tu cherches du concret là ou il n' y en a pas .
J' aurais pu aussi citer les passages ou tu introduis la grandeur "temps" qui est une grandeur physique et hors du champs des mathématiques .

[minushabens]

(...) est le résultat d'une suite de nombres s'inscrivant dans la temporalité d'une énumération infinie en durée.

je pense que tu te laisses abuser par le terme dénombrable (ou dénombrer). Ce terme évoque en effet le fait de compter des objets (en anglais d'ailleurs dénombrable se dit countable) mais c'est juste une évocation. Une bijection entre l'ensemble N et un ensemble E est d'une certaine façon un "comptage" des éléments de E: l'image de 0 est le premier, celle de 1 le second, etc, mais la bijection est considérée "d'un bloc" il n'y a pas de notion de temporalité ici.

[JPL]

pierrepons étant manifestement plus doué en math que Hilbert (et que vous autres bien entendu) qui a commis dans cet exemple une grossière erreur, je pense que ce forum n'est pas au niveau de son génie. La discussion est donc fermée.