Métrique Lorenztienne

[invite90034748]

Bonjour,
apparemment il n'est pas possible d'avoir une métrique de type (1,1) sur la sphère . C'est une remarque écrite dans les premières pages du livre "Riemannian Geometry" de Gallot, Lafontaine et Hulin. La preuve est laissé en exercice au lecteur. Je ne vois pas pourquoi c'est vrai, une idée ??
Merci d'avance !!
-----

[Deedee81]

Bonjour,

Ne serait-ce pas lié à la présence de singularité ?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...boule_chevelue

[invite52487760]

Salut :

Sauf erreur de ma part : est biholomorphe à et il y'a la fameuse métrique sur cet espace projective qu'on appelle métrique de Fubiny-Study. Alors, voilà, c'est tout ce que je peux dire moi, il se peut que c'est faux, mais c'est comme ça que je vois les choses moi. Il se peut que c'est faux, mais bon ... :/

Cordialement.

Edit : Soyez svp indulgent si mes propos ne sont pas corrects.

[invite52487760]

Salut :

Non, j'ai lu le passage que tu menstionnes, c'est à la page : du même livre, et il est dit que : There is no lorentzienne metric of signature ( et non de type , les deux notions de types sont différent au niveau du concept lui même ) on . ça, je peux être d'accord, parce que puisque le type n'implique pas que la métrique est un produit scalaire ponctuel, et ça c'est nécessaire je pense ( i.e : n'est pas définie positif dans toutes les circonstances ).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite02232301]

Bonjour,

Ne serait-ce pas lié à la présence de singularité ?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...boule_chevelue

La sphère S^2 n'est pas singulière.

Bonjour,
apparemment il n'est pas possible d'avoir une métrique de type (1,1) sur la sphère . C'est une remarque écrite dans les premières pages du livre "Riemannian Geometry" de Gallot, Lafontaine et Hulin. La preuve est laissé en exercice au lecteur. Je ne vois pas pourquoi c'est vrai, une idée ??
Merci d'avance !!

Choisi une métrique riemannienne g sur la sphère, alors tu peux définir un endomorphisme de TX (où X=S²) par h(.,.)=g(f.,.) où h est ta métrique lorentzienne. Mais tu obtiens alors un sous fibré en droite de TX donné par le sous fibré propre associé à la valeur propre >0 de f. Ce qui est facheux.

En fait, ce truc dit que si tu veux une métrique de type (p,q) sur une variété (compacte et lisse) alors le fibré tangent doit se splitter en somme directe de deux sous fibrés (de rang p et q). Ce qui donne des conditions sur les nombres de Stieffel-Whitney par exemple.

[invite90034748]

Deedee81 : je ne pense pas/ne vois pas pourquoi. Quel est ton argument ?

MiPaMa : Je ne comprends pas tout, je vais essayer de travailler ton exemple. Ceci dit comme cette remarque était environ 20 lignes après la définition d'une variété semi-riemanienne, j'imagine que l'auteur avait peut-être un argument élémentaire en tête ... Pourquoi TX n'admet pas de sous-fibré en droite ? (Désolé pour la question basique. Je crois me souvenir que les seuls sphères dont le fibré tangent est trivial sont S^1, S^3 et S^7 mais je ne me rappelle plus l'argument).

[invite52487760]

Pourquoi TX n'admet pas de sous-fibré en droite ? (Désolé pour la question basique. Je crois me souvenir que les seuls sphères dont le fibré tangent est trivial sont S^1, S^3 et S^7 mais je ne me rappelle plus l'argument).

Si je ne m'abuse, admet un sus fibré en droite, mais pas tous les sous fibré en droites sont associés à des valeurs propres . parce que la signature est et non comme tu as prétendu au départ, donc, ce n'est pas un produit scalaire, et donc, n'est pas définie positifs. C'est ce qu'a voulu dire MiPaMa il me semble. ( que je salue au passage .. )

[Universus]

Bonjour à tous,

Chentouf : vous confondez le fait que la sphère admette une structure complexe, et par conséquent une structure hermitienne (ce qui est une structure de type (1,1) au sens de Dolbeault, c'est-à-dire une structure sesquilinéaire), avec le fait qu'elle n'admette pas de métrique lorentzienne, c'est-à-dire de structure symétrique non dégénérée de signature (1,1).

Bonjour,

Ne serait-ce pas lié à la présence de singularité ?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...boule_chevelue

La sphère S^2 n'est pas singulière.

La sphère n'est effectivement pas (une variété) singulière, mais le lien communiqué par Deedee81 montre qu'il ne s'agit pas de ce qu'il avait en tête : tout champ vectoriel sur la 2-sphère a une « singularité » (s'annule quelque part). Comme vous l'avez implicitement souligné par votre « facheux », l'existence d'une métrique lorentzienne contredirait ce fait.

Choisi une métrique riemannienne g sur la sphère, alors tu peux définir un endomorphisme de TX (où X=S²) par h(.,.)=g(f.,.) où h est ta métrique lorentzienne. Mais tu obtiens alors un sous fibré en droite de TX donné par le sous fibré propre associé à la valeur propre >0 de f. Ce qui est facheux.

En fait, ce truc dit que si tu veux une métrique de type (p,q) sur une variété (compacte et lisse) alors le fibré tangent doit se splitter en somme directe de deux sous fibrés (de rang p et q). Ce qui donne des conditions sur les nombres de Stieffel-Whitney par exemple.

De manière peut-être moins intimidante, l'existence d'un section non nulle d'un fibré implique que la caractéristique d'Euler dudit fibré est nulle. La caractéristique d'Euler d'une variété étant la caractéristique d'Euler de son fibré tangent, nous obtenons un premier critère simple pour l'inexistence d'une métrique lorentzienne : il suffit que la caractéristique d'Euler de la variété soit non nulle. Nous savons tous calculer la caractéristique d'Euler d'une variété via une triangulation, donc ce critère est assez « rassurant ». Parmi les surfaces compactes orientées sans bord, seul le tore peut admettre une structure lorentzienne (et il en admet certainement une).

Deedee81 : je ne pense pas/ne vois pas pourquoi. Quel est ton argument ?

MiPaMa : Je ne comprends pas tout, je vais essayer de travailler ton exemple. Ceci dit comme cette remarque était environ 20 lignes après la définition d'une variété semi-riemanienne, j'imagine que l'auteur avait peut-être un argument élémentaire en tête ... Pourquoi TX n'admet pas de sous-fibré en droite ? (Désolé pour la question basique. Je crois me souvenir que les seuls sphères dont le fibré tangent est trivial sont S^1, S^3 et S^7 mais je ne me rappelle plus l'argument).

Il s'agit bien des trois seules sphères parallélisables (ce n'est pas un fait simple), mais ce n'est pas ce qui est en jeu. Il suffit d'avoir des sphères n'admettant aucun champ vectoriel (continu) partout non nul pour en déduire, via l'argument de MiPaMa, l'inexistence de métrique lorentizienne sur ces sphères : les sphères de dimension paire n'ont pas de tel champ (théorème généralisé de la boule chevelue ; voir mon commentaire sur la caractéristique d'Euler ci-dessus, sachant que ).

Les sphères de dimension impaire ont toutes un champ vectoriel qui ne s'annule nulle part : en effet, la sphère standard vit naturellement dans et l'action de sur le champ vectoriel radial donne un champ non nul tangent à la sphère, le champ de Hopf. Donc l'argument de MiPaMa n'aboutit pas à une contradiction avec le théorème de la boule chevelue : il est possible qu'une métrique lorentzienne existe. Ceci dit, l'argument de MiPaMa peut être renversé afin de construire une métrique lorentzienne sur ces sphères à partir de la métrique riemannienne standard et du champ de Hopf.

Le livre de Gallot-Hulin-Lafontaine (du moins la traduction anglaise que je possède (je sais... je sais...) publiée chez Springer) donne en annexe une esquisse de solution, qui est peut-être plus élémentaire (pas besoin de parler d'endomorphisme de TX induit), mais qui ne fonctionne que pour la 2-sphère.

Nous supposons l'existence d'une métrique lorentzienne. En dimension 2, dans chaque plan tangent, le cône de lumière est une intersection de deux droites. Il est facile de voir qu'une telle « distribution de cônes » existe sur l'ouvert « sphère moins le pôle nord », ainsi que sur l'ouvert « sphère moins le pôle sud » ; notre hypothèse implique qu'il existe une distribution sur toute la sphère. On choisit un champ vectoriel continu non nul sur l'ouvert « sphère moins le pôle nord » dans l'une des deux distributions en droites de la distribution en cônes. Évidemment, on obtient un champ de vecteurs continu non nul sur l'ouvert « sphère moins les pôles » dans l'une des deux distributions en droites de la distribution en cônes, qui doit forcément se prolonger continûment au pôle sud par un vecteur non nul. Ainsi, nous avons un champ vectoriel globalement continu et non nul, ce qui contredit le théorème de la boule chevelue.

Cet argument ne fonctionne effectivement qu'en dimension 2, car en dimension supérieure, le cône de lumière est « davantage et trop » connexe : aucune « direction lumière globale canonique » n'existe. Pour faire fonctionner cet argument, une approche naïve consisterait à définir « manuellement » une direction lumière globale, ce qui peut s'avérer difficile considérant que c'est impossible si la dimension est paire... L'argument de MiPaMa montre que la métrique lorentzienne détermine d'elle-même des directions globales non canoniques (dépendantes du choix de métrique riemannienne) qui n'appartiennent pas aux cônes lumière.

[Deedee81]

Salut,

La sphère S^2 n'est pas singulière.

Ce n'est pas de la sphère dont je parlais mais du système de coordonnée (et donc de la métrique) si l'on veut une seule carte. Mais :

Deedee81 : je ne pense pas/ne vois pas pourquoi. Quel est ton argument ?

Il semble que j'aie mal compris la question. Désolé,
En tout cas si j'en juge par les autres réponses.

Mais heu :

La sphère n'est effectivement pas (une variété) singulière, mais le lien communiqué par Deedee81 montre qu'il ne s'agit pas de ce qu'il avait en tête : tout champ vectoriel sur la 2-sphère a une « singularité » (s'annule quelque part). Comme vous l'avez implicitement souligné par votre « facheux », l'existence d'une métrique lorentzienne contredirait ce fait.

Peut-être bien que si après tout. Mais de toute façon vous allez un peu trop loin pour ma pauvre petite tête, c'est du costaud

J'arrête donc de vous embêter.

[invite02232301]

MiPaMa : Je ne comprends pas tout, je vais essayer de travailler ton exemple. Ceci dit comme cette remarque était environ 20 lignes après la définition d'une variété semi-riemanienne, j'imagine que l'auteur avait peut-être un argument élémentaire en tête ... Pourquoi TX n'admet pas de sous-fibré en droite ? (Désolé pour la question basique. Je crois me souvenir que les seuls sphères dont le fibré tangent est trivial sont S^1, S^3 et S^7 mais je ne me rappelle plus l'argument).

TX n'admet pas de sous fibré en droite, parce que tous les fibrés en droites sur la n-sphère (n>1) sont triviaux (parce qu'une fibré en droite est essentiellement donné par une application d'attache de S^1 dans R^*, donc homotope à une application constante). Et dans le cas n pair admettre un sous fibré en droite trivial, veut dire admettre une section nulle part nulle qui n'existe pas.

Edit: Au passage, admettre un sous fibré en droite n'implique bien sur pas d'admettre des sections partout non nulles, il faut bien sur que le fibré en question soit trivial. Y a bien deux arguments, on a un sous fibré en droite, qui est trivial.

Le fait que S^1, S^3 soient parallelisables est facile, cela est du au fait qu'ils admettent une structure de groupe de Lie, en tant que groupe des unités des
complexes ou quaternions respectivement. Pour S^7 l'argument passe également, quitte a définir une notion de groupe de Lie non associative. Un groupe de Lie a toujours un fibré tangent trivial, les translations te permettent d'identifier T_xX à dm_x(1)T_1X, ou m_x est la multiplication par x.
Montrer que c'est les seuls est plus compliqués... Mais j'imagine qu'un calcul de classes charactéristiques quelconques doit faire l'affaire.

De manière peut-être moins intimidante, l'existence d'un section non nulle d'un fibré implique que la caractéristique d'Euler dudit fibré est nulle. La caractéristique d'Euler d'une variété étant la caractéristique d'Euler de son fibré tangent, nous obtenons un premier critère simple pour l'inexistence d'une métrique lorentzienne : il suffit que la caractéristique d'Euler de la variété soit non nulle. Nous savons tous calculer la caractéristique d'Euler d'une variété via une triangulation, donc ce critère est assez « rassurant ». Parmi les surfaces compactes orientées sans bord, seul le tore peut admettre une structure lorentzienne (et il en admet certainement une).

Je sais pas si c'est moins intimidant, mais c'est mieux que ma condition sur les classes de Stieffel-Whitney, puisque la classe d'Euler s'envoie sur la top-classe de Stieffel-Whitney par réduction mod 2, donc votre argument implique le mien.

[invite02232301]

En fait pour reformuler mon argument et celui que donne Universus, le point est que le cone isotrope (de "lumière") d'une forme quadratique de type (n-1,1) possède une direction privéligiée (une fois une métrique choisie une forme quadratique te donne un endomorphisme, c'est simplement interpreter la matrice de la forme quadratique comme celle d'un endomorphisme, et dans une base orthonormale pour la métrique cette identification "passe aux familles" puisque P^t=P^-1 pour une matrice orthogonale), celle associée à la valeur propre de signe qui n'est pas comme les autres. Dans la 2-sphère ca veut dire que tu peux etiqueter de facon cohérente les deux branches du cone isotrope au dessus de chaque point de la sphère. Et donc choisir un vecteur dans la meme branche à chaque fois, qui donne une section non nulle.

[invite52487760]

TX n'admet pas de sous fibré en droite, parce que tous les fibrés en droites sur la n-sphère (n>1) sont triviaux (parce qu'une fibré en droite est essentiellement donné par une application d'attache de S^1 dans R^*, donc homotope à une application constante). Et dans le cas n pair admettre un sous fibré en droite trivial, veut dire admettre une section nulle part nulle qui n'existe pas.

Oui, ce sujet a déjà été traité ici : http://forums.futura-sciences.com/ma...-basiques.html avec : Universus. J'ai pas mis attention que c'est la droite projective.

[invite02232301]

Ce n'est pas de la sphère dont je parlais mais du système de coordonnée (et donc de la métrique) si l'on veut une seule carte. Mais :

Je comprend pas votre phrase en fait (mais vous avez raison, le theoreme de la boule chevelue est essentiel ici).

[invite90034748]

Merci à Universus et MiPaMa pour les précisions et les explications. Je vais regarder tout ça en détail !

[invite52487760]

Je comprend pas votre phrase en fait (mais vous avez raison, le theoreme de la boule chevelue est essentiel ici).

Peux tu m'expliquer par quoi on peut remplacer le théorème de la boule chevelue dans le cas complexe ? ( Si cela ne te pose pas de problème ... )

[invite52487760]

TX n'admet pas de sous fibré en droite, parce que tous les fibrés en droites sur la n-sphère (n>1) sont triviaux (parce qu'une fibré en droite est essentiellement donné par une application d'attache de S^1 dans R^*, donc homotope à une application constante). Et dans le cas n pair admettre un sous fibré en droite trivial, veut dire admettre une section nulle part nulle qui n'existe pas.

C'est ce qui se passe par exemple dans le cas complexe. Parce que ... dans le cas n pair, admettre un sous fibré en droite trivial, veut dire admettre une section nulle part nulle qui n'existe pas --- > Cette affirmation trouve son origine en géométrie complexe et non en géométrie réelle. C'est vrai ce que je dis ? Peux tu m'indiquer un cours qui confirme ce que tu viens d'expliquer dans cette citation ?. Stp, réponds moi.

[Universus]

Bonjour,

Ce n'est pas de la sphère dont je parlais mais du système de coordonnée (et donc de la métrique) si l'on veut une seule carte.

Dans un langage physicien (je ne fais aucun reproche via ce qualificatif), c'est bien ça. La sphère duquel on retire un point, disons le pôle nord, est un disque ouvert ; or, sur un disque ouvert, il existe une métrique lorentzienne, ne serait-ce qu'en considérant un disque dans l'espace de Minkowski de dimension D=1+1. Il ne s'agit potentiellement pas de la seule manière de mettre une métrique lorentzienne sur le disque. Dans tous les cas, ce disque donne des coordonnées et une métrique lorentzienne sur la sphère moins le pôle.

Toute la question est de savoir si ces structures s'étendent de manière cohérente pour recouvrir le pôle. Le système de coordonnées ne se prolonge pas en tant que tel, mais il est toujours possible de faire un changement de carte ; ces considérations n'ont rien de « lorentziennes ». Il reste donc à savoir si une métrique lorentzienne définie partout sur une sphère sauf en un point peut, parfois, être prolongée en ce point. La réponse est non. Cela pourrait s'interpréter (maladroitement du point de vue mathématique) comme le « fait » qu'une métrique lorentzienne sur une sphère est forcément singulière en au moins un point de la sphère.

C'est peut-être maladroit même du point de vue physique, parce que la « singularité », c'est-à-dire l'impossibilité de prolonger la pseudo-métrique, ne s'accompagne pas forcément d'une divergence dans la courbure (après tout, le disque dans l'espace de Minkowski est plat), alors que le mot « singularité » a généralement cette propriété lorsque employé par les relativistes. Cette critique tient pour toutes les sphères de dimension paire, en particulier la 4-sphère (qui aurait pu, de prime abord, être candidate comme espace-temps).

Le fait que S^1, S^3 soient parallelisables est facile, cela est du au fait qu'ils admettent une structure de groupe de Lie, en tant que groupe des unités des
complexes ou quaternions respectivement. Pour S^7 l'argument passe également, quitte a définir une notion de groupe de Lie non associative. Un groupe de Lie a toujours un fibré tangent trivial, les translations te permettent d'identifier T_xX à dm_x(1)T_1X, ou m_x est la multiplication par x.
Montrer que c'est les seuls est plus compliqués... Mais j'imagine qu'un calcul de classes charactéristiques quelconques doit faire l'affaire.

Un argument par les classes caractéristiques (plus particulièrement via les nombres de Stieffel-Whitney) permet de montrer que seules les sphères de dimension sont possiblement parallélisables. Consulter à ce propos par exemple le chapitre 4 de Characteristic Classes de Milnor et Stasheff. Pour exclure les cas, l'argument trouvé utilise pas seulement la théorie homologique, mais aussi la théorie de l'homotopie. Les références originales, toutes deux brèves :

Kervaire : http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/arti...00682-0054.pdf
L'échange entre Milnor et Bott : https://books.google.ca/books?hl=fr&...spheres&f=true

Je sais pas si c'est moins intimidant, mais c'est mieux que ma condition sur les classes de Stieffel-Whitney, puisque la classe d'Euler s'envoie sur la top-classe de Stieffel-Whitney par réduction mod 2, donc votre argument implique le mien.

Ce n'est pas moins intimidant en ce sens qu'il y a une série de résultats à connaître afin de déduire de l'existence d'une section d'un fibré vectoriel l'annulation de la caractéristique d'Euler de la base. Il faut connaître au moins une classe caractéristique, celle d'Euler...

Ceci dit, je pense que « classe d'Euler » sonne plus familier que « classe de Stieffel-Whitney », et nous savons facilement calculer la caractéristique d'Euler alors que le calcul des nombres de Stieffel-Whitney est plus méconnu. En tout cas, on m'a enseigné la caractéristique d'Euler (sans la nommer) vers 7-8 ans, j'imagine qu'en Europe ça doit être similaire, mais je peine encore à me rappeler de la définition des nombres de Stieffel-Whitney.

Ceci dit, votre justification par Stieffel-Whitney a l'avantage qu'elle permet d'exclure l'existence de structure lorentizienne sur des variétés non orientables. Par contre, la n-sphère ayant caractéristique d'Euler paire, la n-ième classe de Stieffel-Whitney s'annule toujours, ce qui est insuffisant pour établir le théorème de la boule chevelue.

En fait pour reformuler mon argument et celui que donne Universus, le point est que le cone isotrope (de "lumière") d'une forme quadratique de type (n-1,1) possède une direction privéligiée (une fois une métrique choisie une forme quadratique te donne un endomorphisme, c'est simplement interpreter la matrice de la forme quadratique comme celle d'un endomorphisme, et dans une base orthonormale pour la métrique cette identification "passe aux familles" puisque P^t=P^-1 pour une matrice orthogonale), celle associée à la valeur propre de signe qui n'est pas comme les autres. Dans la 2-sphère ca veut dire que tu peux etiqueter de facon cohérente les deux branches du cone isotrope au dessus de chaque point de la sphère. Et donc choisir un vecteur dans la meme branche à chaque fois, qui donne une section non nulle.

Je souhaiterais apporter une petite précision, question d'éviter une ambiguïté entre ma terminologie et celle de MiPaMa. Dans mon précédent message, pour l'argument sur la 2-sphère, je désignais par « cône de lumière » l'ensemble des vecteurs de genre lumière. Dans le passage ci-dessus de MiPaMa, « cône de lumière » désigne l'ensemble des vecteurs de genre lumière ou temps. Les deux espaces propres de l'endomorphisme que MiPaMa construit sont constitués respectivement de vecteurs de genre temps et espace, mais pas de genre lumière.

« Visuellement », l'argument de MiPaMa signifie ceci. Étant donné une métrique lorentzienne, chaque espace tangent est feuilleté par des hyperboloïdes à deux nappes, le cône lumière et des hyperboloïdes à une nappe. Étant donné une métrique riemannienne, chaque espace tangent est feuilleté par des ellipsoïdes et le vecteur nul. En se fixant un ellipsoïde, on peut chercher à déterminer quels hyperboloïdes (à deux ou une nappe(s)) sont tangents à l'ellipsoïde et, plus encore, quels sont les points d'intersection. Les vecteurs d'intersection avec l'hyperboloïde à deux nappes engendrent l'espace propre de genre temps (qui a dimension 1), tandis que les vecteurs d'intersection avec l'hyperboloïde à une nappe engendrent l'espace propre de genre espace.

L'argument que j'ai apporté (sur la base de la suggestion de Gallot-Hulin-Lafontaine) consistait plutôt à intersecter l'ellipsoïde avec le cône de lumière, ce qui donne les sphères célestes « futur » et « passé » (il n'y a pas toujours de structure causale globale, mais bon...). En dimension 2, chacune de ces deux sphères est , bref deux points : il est facile de faire un choix global parmi les quatre points célestes. En dimension supérieure 2n, les deux sphères célestes sont des , qui sont chacune connexes et qui contiennent chacun « trop » de points : il vient soudainement difficile de faire un choix global de vecteur lumière non nul. L'argument de MiPaMa allant identifier une direction de genre temps globalement définie évite le problème du choix. Comme MiPaMa l'a souligné, encore faut-il que le fibré de rang 1 obtenu soit trivial, mais c'est le cas sur les sphères de dimension supérieure à 1, car leur groupe fondamental est trivial.

[invite52487760]

Salut :

Voiçi une interprétation détaillée des propos soulignés par MiPaMa : http://math.stackexchange.com/questi...e-over-s3?rq=1
J'ai oublié de remercier aussi Universus pour le petit commentaire qu'il m'a envoyé au début de ce fil. J'avais l'intention de lui envoyer un message au début pour le remercier, mais j'avais la tête engouffré dans les propos de MiPaMa qui refuse toujours de me répondre et échanger avec moi. Dommage.

[invite52487760]

Salut :

Juste une petite question qui me turlupine un peu :
Si on prend le fibré en droite : avec : le cercle : et le ruban de Mobius : . Ici, le ruban de Mobius comme vous le connaissez, n'est pas orientable. est un fibré en droites réel, mais malgré ça, n'est pas trivial, parce que qu'il est non orientable, non ? Alors, cela ne contredit-il pas ce que vous affirmiez depuis le début de ce fil ? Où me trompe je ?

Merci d'avance.

[invite52487760]

Suite :
... Je fais allusion à ça :

Le fait que S^1, S^3 soient parallelisables est facile, cela est du au fait qu'ils admettent une structure de groupe de Lie, en tant que groupe des unités des complexes ou quaternions respectivement. Pour S^7 l'argument passe également, quitte a définir une notion de groupe de Lie non associative.

Je ne m’intéresse que très peu à ces sujets là ... Celui qui s'adonne complètement à ces trucs là devrait être plus attiré par la conjecture de Novikov qui n'est encore pas résolu à nos jours ... Mais, ce n'est pas mon domaine de prédilection. Pour infos, s'il s'avère que si la fameuse conjecture de Baum-Connes est valables alors cela implique aussi que la conjecture de Novikov est valable aussi, mais on attend toujours que quelqu'un vient pour démontrer l'une de ces deux conjectures ... Le Background de MiPaMa est plus proche de ce domaine puisqu'elle parle toujours de classes de pontryagin, fibrés orientées, classes caractéristiques, Nombres de styfel-Whitney que je n'ai jamais su ce que c'est mais, je vois de temps en temps apparaitre ce mot là dans pas mal d'occasion quant je survole certains articles qui portent sur la conjecture e Novikov ...
Bon, j'espère que vous réussirez à m'indiquer où est l'erreur que j'ai fait par rapport à l'affirmation de MiPaMa. MiPaMa afirme que S^1 est parrallélisable, alors que moi dans plein de bouquin on trouve ce fameux exemple de fibré de Mobius qui je vois contredire cette affirmation de MiPaMa.

Merci pour vos éclaircissements.

[invite52487760]

Ok ! et c'est différent, non ? La première est juste une variété ( topologique ) sans structure algébrique et la seconde est muni d'une structure de groupe de Lie . non ? Pour voir plus claire, on peut considérer l'action : définie par multiplication, et en conséquent : puisque : , et est le stabilisateur en , et est l'orbite en parce que la multiplication est transitive et libre.. non ?

[Universus]

Si on prend le fibré en droite : avec : le cercle : et le ruban de Mobius : . Ici, le ruban de Mobius comme vous le connaissez, n'est pas orientable. est un fibré en droites réel, mais malgré ça, n'est pas trivial, parce que qu'il est non orientable, non ? Alors, cela ne contredit-il pas ce que vous affirmiez depuis le début de ce fil ? Où me trompe je ?

Vous avez une coquille dans votre description du ruban de Möbius : .

En effet, le cas de la 1-sphère est exceptionnel : alors que toutes les sphères () n'admettent, à isomorphisme de fibrés vectoriels près, qu'un seul fibré en droites (réelles), qui est forcément le fibré trivial, le cercle en admet deux, à savoir le fibré trivial et le ruban de Möbius.

Il y a diverses façons de le voir. La meilleure est via le complexe de Cech à valeurs dans le faisceau du groupes des automorphismes de la fibre (que nous pouvons toujours réduire au sous-groupe orthogonal des automorphismes, à savoir pour une droite le groupe ). En effet, étant donné un recouvrement ouvert trivialisant du fibré d'intérêt, le complexe de Cech associé permet d'étudier les fonctions de transitions (qui sont continues) dudit fibré. Sur une sphère , nous pouvons toujours prendre deux ouverts trivialisant, à savoir « sphère moins le pôle nord » et « sphère moins le pôle sud ».

1) Si , alors l'intersection de ces deux ouverts est connexe : la fonction de transition, qui a valeur dans , doit être constante. Si la valeur constante est 1, le fibré nous est déjà présenté trivialisé ; si la valeur est -1, quitte à inverser le sens de toutes les fibres sur un des deux ouverts, ce qui n'est qu'un changement de trivialisation locale et non une modification profonde du fibré, on se ramène au cas précédent.

2) Si , alors l'intersection a deux composantes : la fonction de transition est constante sur chacune des deux composantes, mais il n'y a aucune raison qu'elle vaille la même chose sur les deux. Si la transition vaut -1 sur l'une des deux composantes et 1 sur l'autre, l'opération ci-dessus consistant à reparamétrer à l'envers les fibres au-dessus d'un des deux ouverts transformera la première transition pour qu'elle vaille 1, mais transformera l'autre vers la valeur -1 : la présence d'un -1 persiste, témoignant du fait que ce fibré est non trivial. C'est le fibré de Möbius.

Étant donné le complexe de Cech, on peut étudier la cohomologie associée à ce complexe. Cette étude nous apprend que l'ensemble des fonctions de transition de notre fibré détermine une classe de cohomologie dans , où B est la base du fibré. Si B est une sphère, alors ce groupe de cohomologie vaut , qui est nul si (puisque le groupe fondamental est trivial) et qui vaut si n=1. Il s'avère qu'il y a une bijection entre les classes d'isomorphismes de fibrés en droites réelles sur B et le groupe ; ainsi, sur les sphères n>1, il n'y a qu'un seul fibré, alors qu'il y en a deux sur le cercle.

Le fait que S^1, S^3 soient parallelisables est facile, cela est du au fait qu'ils admettent une structure de groupe de Lie, en tant que groupe des unités des complexes ou quaternions respectivement. Pour S^7 l'argument passe également, quitte a définir une notion de groupe de Lie non associative.

[...]

Bon, j'espère que vous réussirez à m'indiquer où est l'erreur que j'ai fait par rapport à l'affirmation de MiPaMa. MiPaMa afirme que S^1 est parrallélisable, alors que moi dans plein de bouquin on trouve ce fameux exemple de fibré de Mobius qui je vois contredire cette affirmation de MiPaMa.

[...]

Ok ! et c'est différent, non ? La première est juste une variété ( topologique ) sans structure algébrique et la seconde est muni d'une structure de groupe de Lie . non ? Pour voir plus claire, on peut considérer l'action : définie par multiplication, et en conséquent : puisque : , et est le stabilisateur en , et est l'orbite en parce que la multiplication est transitive et libre.. non ?

Il n'y a pas de contradiction entre l'existence du ruban de Möbius et la parallélisabilité de la sphère. Dire qu'une variété lisse est parallélisable signifie que son fibré tangent est trivialisable... ce qui n'empêche pas l'existence d'autres fibrés au-dessus de cette variété qui ne soient pas trivialisables.

Il est vrai qu'il y a une différence « structurelle » entre vos deux descriptions du cercle, mais ce n'est pas problématique. La question de la parallélisabilité du cercle se pose, disons, dans la catégorie lisse. Le fait que le cercle admette une structure plus riche, à savoir une structure de groupe de Lie, suffit à déduire la parallélisabilité du cercle.

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Merci pour toutes ces précisions Universus.