Matrices orthogonales
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 2 sur 2

Matrices orthogonales



  1. #1
    Perfectina

    Matrices orthogonales


    ------

    Bonjour

    J'ai encore un exercice corrigé dont l'énoncé est : Déterminer la matrice de la rotation R de R^3 dans une base orthonormée (i,j,k) telle que R(u)=u où u=(1/3,-1/3,1/3) et R(i)=k. Donner son angle de rotation.

    La correction :

    La matrice de R s'écrit :

    R(i) R(j) R(k)
    0 a a' i
    0 b b' j
    1 c c' k

    Cette matrice est orthogonale, donc les vecteurs-colonnes forment une base orthonormale. Ainsi <R(i),R(j)>=0 donc c=0. De la même manière, c'=0.

    De plus ||R(j)||=||R(k)||=1 donc a²+b²=1 et a'²+b'²=1.

    On a aussi <R(j),R(k)>=0 donc aa'+bb'=0.

    Et on a det A = 1 donc : ab'-a'b=1.

    Jusqu'ici je comprends mais c'est ce fameux R(u)=u que je ne comprends pas.
    De ce fait on tire :
    a+a'=1 et
    b+b'=-1.
    Pourquoi ?
    R(j)=j et R(k)=k ?
    Je ne vois pas comment ils ont obtenu ces équations.

    Ensuite je passe le développement on finit par trouver les coefficients, on finalement obtient la matrice :

    0 -1 0
    0 0 -1
    1 0 0

    L'angle de rotation je comprends. On trouve cos=-1/2 et =+/- 2/3.

    Et pour sin rebelote, je ne comprends pas....
    Prenons un vecteur quelconque, par exemple, x=(1,0,0).
    On a R(x)=(0,0,1) et l'axe de rotation de R est u.

    Là ils calculent le déterminant et trouve finalement que =2pi/3.

    Ce que je ne comprends pas, c'est :
    - Comment ils ont trouvé, avec la condition R(u)=u :
    a+a'=1 et
    b+b'=-1

    - Comment ils ont trouvé que R(x)=(0,0,1), que l'axe de rotation est u ?

    Je n'arrive pas à comprendre, même si ça paraît un peu bête... Je bloque !
    Merci, bonne journée !

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : Matrices orthogonales

    A partir du moment où l'on a simplifié la matrice en



    La condition s'écrit matriciellement :



    et en développant le second membre, on obtient : et .

    Ensuite, la matrice de rotation est semblable à la matrice réduite :



    donc, par égalité des traces :

    Les vecteurs de l'axe sont invariants dans la rotation, l'égalité dit que est un vecteur de l'axe...

    Digère tout ça et on s'attaquera à la seule "difficulté" : le calcul de
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

Discussions similaires

  1. Matrices orthogonales
    Par math123 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 24
    Dernier message: 08/06/2014, 21h57
  2. Propriétés des matrices orthogonales
    Par yootenhaiem dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 03/03/2012, 19h58
  3. matrices orthogonales
    Par tibmaster dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 26/01/2012, 16h26
  4. Matrices orthogonales
    Par Thoy dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 01/12/2010, 19h53
  5. Exo matrices orthogonales
    Par Gpadide dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 15
    Dernier message: 31/03/2007, 16h25