Convergence de variables aléatoires en probabilité

[joel_5632]

Bonjour

Je rappelle la définition prise ici: https://fr.wikipedia.org/wiki/Conver...l%C3%A9atoires


Soit une suite de variables aléatoires réelles définies sur un même espace de probabilité. On dit que converge vers en probabilité ssi:



Je ne vois guère de sens à cette définition sauf dans 2 cas:

1) Si X est une V.A dégénérée, çàd qui ne prend qu'une seule valeur. Par exemple on peut dire que la suite de lois normales converge en probabilité vers la loi dégénérée telle que

2) On peut aussi envisager que et deviennent de plus en plus corrélées pour n grand et qu'à chaque épreuve et finissent par donner la même valeur

Dans les autres cas je ne pense pas qu'il puisse y avoir convergence en probabilité. Wikipédia ne dit rien à ce sujet. Qu'en pensez vous ?
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[feanorel]

A vrai dire c'est probablement l'une des notions les plus naturelles de convergence de variables aléatoires...
En effet c'est très proche de la convergence presque sûre (X_n -> X presque sûrement, i.e P(\lim X_n = X) = 1 )
mais à le bon goût de dériver d'une topologie contrairement à la convergence presque sûre.

La loi des grands nombre est un premier exemple de convergence en proba qu'on exploite tout le temps en stat.

[joel_5632]

@feanorel

As tu un exemple de suite Xn de V.A convergeant en probabilité vers X ?

[minushabens]

salut, une variable aléatoire ce n'est jamais qu'un application (mesurable, des tribus étant données, etc.) et donc il n'y a rien de mystérieux derrière cette forme de convergence. Tu peux voir que la convergence en L2 par exemple entraîne la convergence en probabilité, donc si tu sais construire une suite de fonctions convergeant en L2 pour une mesure finie, tu as ipso facto une suite de variables aléatoires convergeant en probabilité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[feanorel]

Oui, toutes les suites convergeant p.s. vers quelque chose.

Exemples :
- X_n = X + Y/n, avec Y bornée converge en proba vers X
- Si (X_i) est une suite de va iid, la moyenne empirique converge en proba vers l'espérance de X_1.

Exemple plus compliqué :
tu veux minimiser E(f(x,w)) où x est ta décision et w une variable aléatoire, et f une fonction de coût fortement convexe (par exemple).
Comme calculer l'espérance pour tout x est compliqué tu décides de faire
N tirages indépendants de w noté w_1 ... w_N.
Soit x_N un minimiseur de . x_N est une variable aléatoire qui dépends des N tirages. Sous quelques hypothèses techniques
tu as la convergence en proba de x_N vers x* la solution de ton problème initial.