J'essaye de comprendre la théorie de Galois dans la résolution des équations polynomiales.
N'étant pas doué en math, je souhaite vos lumières.
Prenons pour simplifier, l'équation polynomiale du premier degré : ax+b=0
Je sais que l'on peut exprimer la solution en fonction des paramètres a et b.
x=-b/a
Mais comment faire la liaison avec la théorie de Galois ?
Merci.
Bonjour.
"N'étant pas doué en math" !!! Eh bien commence par changer ça. La théorie de Galois est une théorie pour matheux confirmés, elle se voit en bac+4 mathématique, donc tout ce que tu peux espérer si tu ne fais pas des études poussées (et réussies) en maths, c'est de la vulgarisation qui ne dit rien en fait de la théorie. Le fait que tu parles de l'équation du premier degré montre que tu ne connais même pas ces éléments de vulgarisation qu'on trouve assez facilement.
Désolé, mais c'est la dure réalité. Tu peux déjà essayer de lire ce document, puis étudier toutes les notions utilisées, une par une, ou dans des cours d'algèbre du supérieur : permutations, groupes, ...
Cordialement.
La théorie de Galois, c'est pas évident... Tu dis que tu n'est "pas doué en maths", ça veut dire que tu as quel niveau?
Après, si tu veux une approche historico-mathémathique sur ce sujet, j'aime bien le livre de Jean-Pierre Tignol "Galois' Theory Of Algebraic Equations". Bon, c'est en anglais, mais c'est très intéressant et montre bien les mathématiques ont progressé.
Ça n'est pas un livre de vulgarisation, et même si il y a des rappels, il vaut mieux avoir fait un peu d'algèbre dans une vie antérieure
Si c'est un cours "moderne" qui t’intéresse, tout dépend de ton niveau actuel
tu aurais pu considérer une équation du second degré. La théorie de Galois a à voir avec le groupe des permutations des racines de l'équation (en fait le groupe des automorphismes de l'extension de corps engendrée par les racines). Mais quand on n'a qu'une racine, ce groupe de permutations est des plus pauvres...Envoyé par Gabriel
Bonjour,
Je vais commencer par la fin, car c'est la meilleure méthode pour donner un aperçu sur ce qu'est la théorie Galois.
La théorie de Galois cherche à savoir si, lorsqu'on se donne un polynôme quelconquede degré par exemple,
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme
Un groupe est résoluble au sens de la théorie de Galois, s'il admet une chaine décroissante finie de sous groupes normaux qui s’arrête à
Le groupe de Galois
Dans le cas de :
J'espère que quelqu'un viendra confirmer.
Cordialement.
Dernière modification par chentouf ; 02/09/2016 à 16h37.
Bonsoir,
je pense qu'on va avoir un mort sur le champ de bataille là, beaucoup trop technique tout ça. Je n'ai pas la prétention de remettre vos propos en question mais je pense que malgré sa "difficulté profonde", la théorie de Galois peut être comprise avec juste ce qu'il faut de logique, de bon sens et un niveau mathématique de seconde. Essayer le livre "Galois, le mathématiciens maudit" de Norbert Verdier. Le ton y est léger mais la partie expliquant la théorie de Galois sur la résolubilité des équations polynomiales est extrêmement bien mené, elle m'a moi même donné de très bonne base pour les mathématiques du supérieur et aidé a en avoir une compréhension profonde et intuitive. Apres ca ne reste que mon avis...
cordialement
Merci à tous, merci à "chentouf" pour sa patience.
Je n'ai que le niveau de terminale année 1967.
Mais je m'accroche.
Si tu as fait math-élem, tu as eu assez de connaissances pour entreprendre d'apprendre seul les bases de l'algèbre. Il y a tout ce qu'il faut dans des bouquins anciens (Lang, par exemple, ou autres) ou récents. Une excellente connaissance des notions de groupe, anneaux et corps, espaces vectoriels, est un préalable.
Après tout, on ne dit pas "je vais monter au sommet du Mont Blanc" si on ne marche jamais plus de 100 m.
Accroche-toi ! entraine-toi à marcher sur les chemins des montagnes mathématiques.
Cordialement.
Si tu as la patience, Artin a écrit un petit livre dessus et il me semble qu'il démontre quasiment tout en partant des espaces vectoriels.
"Artin, Galois Theory".
Bonjour à tous ;
Théorie de GALOIS dite du génie mathématique il faut ouvrir un vrai chantier mathématiques rien que pour comprendre les prérequis exemple "l’Algèbre linaire " plus tard Bilinéaire .....
Amicalement
Dernière modification par topmath ; 03/09/2016 à 20h44.
J'ai trouvé un bouquin en français :
Titre : "Galois, le mathématicien maudit"
Auteur : Norbert VERDIER
Edition : Belin
Très clair. Niveau : 1ère année de fac
question supplémentaire : considérons le polynome de degré 5, ayant pour racines x=1 , 2 , 3 , 5 et 7
Soit : x^5 -18x^4 +118x^3 -348x^2 +457x -210 = 0
Supposons que l'on ne connaisse pas les racines ...
Peut-on exprimer les racines en fonction des coefficients par des radicaux ?
Peut-on exprimer les racines en fonction des coefficients par des fonctions elliptiques (Félix KLEIN) ?
Bonjour Gabriel,
Sauf erreur de ma part :
Le cas du polynôme que tu suggères est trivial, car les racines de ton polynôme sont toutes distinctes, et sont sans multiplicités.
En effet :
Soit
Alors :
Donc,
et par conséquent, le groupe de Galois de
Cordialement.
Dernière modification par chentouf ; 07/09/2016 à 18h20.
Bonjour à tous ,
On ne peut pas exprimer les racines d'un polynôme du 5ièm degrés par radicaux (en générale ) sa été démontrer par Évariste Galois , jusqu’à la preuve du contraire car en ce heurtes à l’extraction des racines 5ièm d'un nombre complexe .
Pour la dernière question oui tout à fait ;
Cordialement
Dernière modification par topmath ; 08/09/2016 à 12h41.
plutôt par Abel.
Le fait qu'on n'ait pas de formules générales ne prouve pas qu'on ne puisse pas dans des cas particuliers. On sait très bien résoudre l'équation x(x²-1)(x²+1)=0.
Cordialement.
excusez moi, je corrige la citation çi dessus, et j’affirme :
Le cas du polynôme que tu suggères est trivial, car les racines de ton polynôme sont toutes distinctes, et sont sans conjugués. ( Parce que, en général :
La présence de conjugués dans les extensions de
Dernière modification par chentouf ; 08/09/2016 à 16h30.
"Chentouf" aurais-tu dans ta boite à outils, une équation polynomiale de degré 5, facile à résoudre en employant la méthode des fonctions elliptiques de Charles HERMITE, ou bien la méthode des fonctions hypergéométriques de Félix KLEIN ?
Gabriel :
Je suis désolé, je ne connais pas la méthode des fonctions elliptiques.
Revenons à la méthode de Galois.
Considérons la fonction de degré 5 : x^5 -1 = 0
Le corps K des solutions est 1 répété 5 fois ?
Le corps G des paramètres est a=1 b=c=d=e=0 et f=-1 ?
1) Non. Il y a 4 autres solutions.
2) Qu'appelles-tu le corps des paramètres ?
Cordialement.
Bonjour,
Ici, http://www.les-mathematiques.net/b/b/g/node4.php un exemple concret non trivial d'équation qui met en application la théorie de Galois.
Je suppose que les 5 racines de x^5-1 = 0 sont les 5 racines cinquième de 1 ?
x1 = 1
x2=1e^i2Pi/5
x3=1e^i4Pi/5
x4=1e^i6Pi/5
x5=1e^i8Pi/5
Super le lien vers le site "Les mathématiques.net"
"Chentouf" je n'arrive pas à visualiser le "dévissage" du groupe de galois.
Aurais-tu un exemple concret avec une équation polynomiale de degré 2 que je maîtrise bien ?
En particulier, je sais que x1 +x2 = -b/a et x1x2 = c/a ces 2 fonctions étant invariables par la transposition x1 et x2 ....
''Gabriel'' , tu as vu le lien que je t'ai donné plus haut ? On travaille sur l'équation :
On a regroupé tous les sous groupe de Galois de l'équation :
On trouve la liste suivant :
Sous groupes d'ordre 1 :
Sous groupes d'ordre 2 :
Sous groupes d'ordre 4 :
Sous groupes d'ordre 8 :
N'est ce pas ?
Donc, on cherche à savoir si cette équation est résoluble par radicaux, et à fortiori, le groupe
Alors, d'après ces donnés là, est ce que :
