Gradient , dérivée directionnelle
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Gradient , dérivée directionnelle



  1. #1
    woshou

    Gradient , dérivée directionnelle


    ------

    Bonsoir , je me pausais une question sur comment on peut expliquer en admettant l'existence de la dérivée directionnelle pourquoi le gradient correspondait à la pente de plus grande montée ?

    -----

  2. #2
    invite52487760

    Re : Gradient , dérivée directionnelle

    Bonjour,

    D'après, l'inégalité de Cauchy - Schwartz :

    Si : , ( i.e : si est le gradient : ), alors : , donc, correspond à : , et donc, correspond à la pente de plus grande montée, puisque :

    Cordialement.

  3. #3
    invite52487760

    Re : Gradient , dérivée directionnelle

    Pardon, Je tourne en rond ( redondance ), parce que vous ne précisez pas comment vous définissez l'expression : pente de plus grande montée. Qu'est ce que pente de plus grande montée de point de vue mathématiques ?.

  4. #4
    GrisBleu

    Re : Gradient , dérivée directionnelle

    bonjour
    Pour une fonction d'un vecteur vers un nombre, tu a
    f(x+h)~f(x) + h.grad f
    Donc pour savoir dans quelle direction f croit, il faut que h soit dans la direction de grad f
    Pour le terme de pente, tu peux visualiser ainsi : si x est de dimension 2 et y = f(x) représente la hauteur au point x alors
    + f(x+h)-f(x) represente l'accroissement de hauteur dans la direction de h et donc ||(f(x+h)-f(x))||/||h|| la pente
    + Par le raisonnement du debut, grad f represente la pente la plus importante

    Cdlt

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Gradient , dérivée directionnelle

    c'est une généralisation de la pente que l'on connaît pour une fonction y=f(x)
    dans ce cas : f(x+h)=f(x)+hf'(x)+o(h)
    prenons maintenant une fonction de (u,v) ds R par exemple
    soit V : (u,v), on aura de même


    On a bien un produit scalaire qui indique l'approximation de la variation de F autour de en fct de
    Or, le produit scalaire est maximal quand l'angle est nul, ce qui explique que le grad donne bien la direction et le module de la plus grande pente.
    Dernière modification par ansset ; 04/09/2016 à 18h35.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  7. #6
    invite52487760

    Re : Gradient , dérivée directionnelle

    représente la pente de au voisinage de .
    D'après Cauchy Schwartz : pour tout
    Donc, on peut admettre par définition, que la pente de plus grande montée, la quantité : pour laquelle : . ceci n'est possible que si .
    en effet : .
    Dernière modification par chentouf ; 04/09/2016 à 18h47.

  8. #7
    invite52487760

    Re : Gradient , dérivée directionnelle

    Donc, la fonction : est surjective, et admet un maximum global qui est : . non ? Donc : , non ?.
    Dernière modification par chentouf ; 04/09/2016 à 19h05.

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