Espace topologique produit

[Devassily]

Bonsoir
Besoin d'aide s'il vous plait.Voila mon probleme.
Comment montrer cette equivalence ci.un espace topologique produit est cennexe par arcs si et seulement si chaque element de cet espace est connexe par arcs
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[ansset]

ben en montrant les deux implications séparément ,( dont l'une est évidente) non ?
ps : à déplacer dans le forum "maths du supérieur".

[minushabens]

Je me demande si la preuve à laquelle on pense immédiatement (construire un chemin formé d'arcs parallèles aux composantes du produit) fonctionne dans un produit quelconque: par exemple si la famille dont on prend le produit a un cardinal strictement supérieur à celui de R, et si les points de départ et d'arrivée du chemin diffèrent par toutes leurs composantes, je ne vois pas comment on peut construire un arc les reliant, sachant qu'un arc est une injection continue de [0,1] dans l'espace topologique considéré.

[ansset]

Je me demande si la preuve à laquelle on pense immédiatement (construire un chemin formé d'arcs parallèles aux composantes du produit) fonctionne dans un produit quelconque: par exemple si la famille dont on prend le produit a un cardinal strictement supérieur à celui de R, et si les points de départ et d'arrivée du chemin diffèrent par toutes leurs composantes, je ne vois pas comment on peut construire un arc les reliant, sachant qu'un arc est une injection continue de [0,1] dans l'espace topologique considéré.

j'ai du mal à voir l'implication de la notion de cardinal ici.

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

Supposons que E soit un espace topologique connexe par arcs et que tu veuilles montrer que ExE l'est. Tu considères deux points (x,y) et (z,t) et tu construis un arc (x,y)->(x,t)->(z,t) qui est donc composé de deux arcs, le premier étant un arc de {x}xE et le second un arc de Ex{t} dont il est trivial de montrer que ce sont des espaces connexes par arcs.

Suppose maintenant que tu partes du même E mais que tu prennes le produit d'une famille de cardinal supérieur à celui de R de copies de E (c'est donc un ExExEx... avec beaucoup de points de suspension). L'idée ci-dessus ne fonctionne plus puisqu'elle consisterait à prendre un arc formé d'une infinité de segments de cardinal supérieur à celui de R, ce qui est absurde (puisqu'un arc est une application continue de [0,1] dans l'espace considéré).

[ansset]

pour ma part, j'ai interprété le mot "produit" comme produit d'un nb fini d'espace.
d'ailleurs je ne sais pas si la notion de produit s'applique dans un autre cas.
mais c'est une remarque à voix basse par manque de certitude au niveau des formalismes.
Cdt

[minushabens]

Il n'y a pas à ma connaissance de restriction sur le "nombre" de composantes d'un produit d'espaces topologiques. D'ailleurs le fameux théorème de Tychonov n'en suppose pas.

[ansset]

comme dit plus haut, je n'en sais rien.
d'ailleurs j'ai dit "fini" , mais c'est peut être extensible à "dénombrable" .... plutôt "qu'infini" sans précision.
je laisse la parole aux pros.

[invite02232301]

Bonjour,

Je me demande si la preuve à laquelle on pense immédiatement (construire un chemin formé d'arcs parallèles aux composantes du produit) fonctionne dans un produit quelconque: par exemple si la famille dont on prend le produit a un cardinal strictement supérieur à celui de R, et si les points de départ et d'arrivée du chemin diffèrent par toutes leurs composantes, je ne vois pas comment on peut construire un arc les reliant, sachant qu'un arc est une injection continue de [0,1] dans l'espace topologique considéré.

Personnellement c'est pas celle là, la preuve à laquelle je pense immédiatement, appliquer simplement la définition fonctionne pour un produit quelconque d'espaces.

[invite02232301]

d'ailleurs je ne sais pas si la notion de produit s'applique dans un autre cas.

Pourtant vous en manipulez tous les jours, qu'est ce qu'une fonction de R dans R si ce n'est un element de

[ansset]

non, je n'en "manipule" pas tous les jours, et par contre je sais bien que le cardinal de l'ensemble des fonctions de R ds R est le premier sup à N1.
il y aurait il un peu de condescendance dans votre remarque ?

[ansset]

quand à la démarche sur le "chemin" proposé, j'aurai aussi proposé une autre piste.
mais dès qu'on me parle d'infini, je répond par humilité avec précaution, c'est tout.

[ansset]

quand je dis infini : il s'agit d'infini d'ensemble bien sur.
quand au passage d'un produit dénombrable à un non dénombrable, cela semble reposer sur l'axiome du choix, non ?
d'où toutes mes prudences.

[invite52487760]

Bonjour,

Soient : avec : un ensemble non dénombrable, par exemple : , et les sont des espaces connexes par arcs.
Alors, continue tels que : et .
Par conséquent : définie par : est continue et vérifie : et . D'où, est connexe par arcs.

[minushabens]

Bonjour,

Personnellement c'est pas celle là, la preuve à laquelle je pense immédiatement, appliquer simplement la définition fonctionne pour un produit quelconque d'espaces.

oui c'est vrai. Il existe pour chaque indice i une application continue fi:[0,1]->Ei et l'application produit x->(f1(x),f2(x),...) est continue et convient.

[invite02232301]

non, je n'en "manipule" pas tous les jours, et par contre je sais bien que le cardinal de l'ensemble des fonctions de R ds R est le premier sup à N1.

Ca n'a pas grand chose à voir avec ma remarque (et je doute que votre proposition soit décidable, meme en admettant l'hypothese du continu). Ma remarque c'est qu'une fonction de R dans R c'est un element de (c'est a dire un produit non denombrable d'ensembles). Et des betes fonctions de R dans R, tout le monde en manipule tous les jours.

il y aurait il un peu de condescendance dans votre remarque ?

Aucunement.

[invite52487760]

[ message supprimé ].
Sorry. !!

[ansset]

certes, mais dans le cadre de ce fil, le post de chentouf ( le précédent ) répond clairement à la question du fil. !
le reste était de l'ordre de l'impression subjective.

ps: ce n'est pas moi qui est posé l'éventuel de pb de cardinalité au départ !