Primitive de cos(x)*cos(k*x)
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Primitive de cos(x)*cos(k*x)



  1. #1
    robteuch

    Thumbs up Primitive de cos(x)*cos(k*x)


    ------

    Bonjour à tous !

    Pour développer une série de Fourrier, je recherche la primitive entre -Pi et Pi de cox(x)*cos(k*x) k étant un entier naturel (de la série de Fourrier).

    Des idées ?


    Merci !

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    Bonjour.

    On linéarise, par exemple avec cos(a)cos(b)= ...

    Cordialement.

  3. #3
    robteuch

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    AHHHH

    C'est triste de voir que ces formules trigo sont parties bien loin; mais ca me fait plaisir de réactiver ca !

    Merci pour ton aide !

  4. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    Pour de futurs lecteurs ignorant de la trigo, je rappelle :
    cos(a)cos(b)=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
    Formule qui se démontre à partir des formules d'addition en développant le second membre.

    Cordialement.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    je trouve plus simple de faire une double IPP .
    On retrouve I(k)=fct(k,x) +k²I(k)
    ( attention il faut traiter le cas |k|=1 à part )
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  7. #6
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    ps :
    j'avais lu primitive, mas en fait c'est une intégrale, on doit pouvoir le faire effectivement directement.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  8. #7
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    Heu ... par linéarisation, c'est une ligne !!

    Par contre, tu fais bien de noter que pour k=1 il se passe un cas particulier. Donc finalement, il faut 2 lignes !

    Cordialement.

  9. #8
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Heu ... par linéarisation, c'est une ligne !!
    .
    ben j'ai pas vu comment tu fait apparaître le terme en k² par linéarisation, ni les diff en fct de la parité de k !
    mais je n'ai pas essayé.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  10. #9
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    edit : si , bien sur !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  11. #10
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)




    Bien 2 lignes sur mon écran.

    Cordialement.

    NB : j'aqi fait ce calcul en cours pendant des années, les séries de Fourier étant au programme en IUT industriel.

  12. #11
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    tes calculs sont faux qcq part :
    j'obtiens pour I(k)
    I(1)=pi/2(et pas pi )
    I(2)=2/3
    I(3)=0
    I(4)=-2/15
    donc en dehors du cas 1,
    I(k)=0 si k impair
    I(k)=((-1)^(k/2+1))*2/(k²-1)

    vérifié sur wolfram..
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  13. #12
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    évidement , j'ai intégré entre -pi/2 et pi/2 ce qui est plus compliqué !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  14. #13
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    Même entre -pi/2 et pi/2, ça se fait en deux lignes.

    Cordialement.

  15. #14
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    oui, quand je disais "plus compliqué" cela concerne les résultats qui dépendent de k !
    je reste un abruti sur ce coup.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  16. #15
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    Bof !

    Il nous arrive à tous de dérailler ! Ce matin, j'ai eng.. sur un autre forum un contributeur parce qu'il avait enlevé son message, alors que je ne l'avais pas retrouvé et qu'il était bien là !

    Cordialement.

  17. #16
    stefjm

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Bien 2 lignes sur mon écran.
    Il doit même y avoir moyen d'aller au but directement vu la périodicité de cos.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  18. #17
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    Heu ... comme il y a deux cas ...

    Par contre, s'il s'agissait de trouver la série de Fourier, il n'y a même rien à faire

    Cordialement.

  19. #18
    stefjm

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    Oui. Deux lignes courtes sans calculs puisque la valeur moyenne de cos sur une période est nulle.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  20. #19
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    Désolé, je ne comprends pas !

    La valeur moyenne d'un cos est nulle, mais ici ce n'est pas un cos, mais un produit de cos. Et la valeur moyenne d'un produit de cos n'est pas nécessairement nulle (voir le cas k=1). Et surtout, Robteuch ne connait peut-être pas ces notions !

    Cordialement.

    NB : Une preuve en une ligne est donnée par la série de Fourier de cos. Encore faut-il connaître ce résultat !

  21. #20
    stefjm

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    après linéarisation des deux cas, le résultat tombe sans calcul supplémentaire.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  22. #21
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    après linéarisation des deux cas, le résultat tombe sans calcul supplémentaire.
    un peu facile de venir après la résolution.
    encore faut-il avoir identifié les deux cas à l'avance ! comment ?
    ça fait un peu 'inspecteur des travaux finis" , non ?
    Dernière modification par ansset ; 03/12/2016 à 21h08.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  23. #22
    stefjm

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    Bonjour,
    En aveugle, la linéarisation du produit donne la somme de deux cosinus dont l'un peut être à pulsation nulle pour k=1.
    Quel que soit k entier,

    Quand on sait qu'il y a du Fourier derrière, on sait qu'on trouve les composantes par calcul de valeur moyenne du produit de la fonction à décomposer (cos(x)) avec la projection correspondante (cos(kx)).
    La valeur moyenne d'un cosinus est nulle et celle d'un cosinus^2 vaut 1/2 (C'est le classique rapport entre valeur maximum et valeur efficace).

    La linéarisation est le plus rapide.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  24. #23
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    Quand on connaît Fourier, on sait que la série de Fourier de cos est f(x)=cos(x). Donc toutes les intégrales donnant les an sont nulles sauf celle de a1; et en prime, avec les bn, on a :


    Et tout ça est très évident quand on sait que les sin(nx) et cos(nx) forment une base hilbertienne pour le produit scalaire

    Cordialement.
    Dernière modification par gg0 ; 05/12/2016 à 14h07.

  25. #24
    stefjm

    Re : Primitive de cos(x)*cos(k*x)

    Oui, c'est encore un cran de plus. L’orthogonalité pour les aspects géométriques de la SF et les valeurs moyennes pour les aspects "mesures physiques".
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

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