Continuité d'une fonction somme ...

[LocalStone]

Salut à tous,
Je suis en pleine révision pour les concours - qui d'ailleurs approchent à grand pas - et il me vient un doute à propos d'une condition suffisante pour prouver la continuité de la fonction somme d'une série de fonction.
En effet, d'après le cours, il suffit que :

• Pour tout n entier, la fonction U_n soit continue sur D
• La série de terme général U_n converge unformement sur tout compact inclu dans D vers S (où S est la série de fonction)

pour que S soit continue. Soit. Jusque là, pas de soucis.
Mais en fait, je me demandais si ces conditions restaient valables si, au lieu de continue, on écrit continue par morceaux ... Je suppose que oui puisque dans ce cas là, les hypothèses sont plus ou moins les mêmes que pour les séries de Fourier. Mais en même temps ... Bah j'en sais rien ...
Donc dans l'espoir d'une réponse, merci d'avance !
++ !
L.S.

[rvz]

Salut,

C'est une bonne question, et je crois que la réponse est non, puisque la continuité par morceaux demande un nombre fini de discontinuité sur tout compact. Or, en alignant les discontinuités bien comme il faut, on peut créér une fonction limite discontinue en une infinité de points.

Par exemple, je prends f_n défini par
f_n = 1 sur [1/2^n, 1/2^{n-1}]
et je regarder f = \sum 1/2^n f_n est clairement continue par morceaux sur tout compact de ]0,1], mais sur [0,1], il y a plein de problèmes, puisqu'il y a des discontinuités en tous les points 1/2^n

__
rvz

[LocalStone]

Merci bien !
Tu viens de m'enlever un gros doute, là. Mais du coup, juste pour savoir, il n'existerais pas par hasard une condition suffisante qui porte sur les fonctions continues par morceaux ?
++ !
L.S.

[rvz]

Ba, je suppose que si tu supposes que les points de discontinuités n'ont pas de valeur d'adhérence, ça doit être vrai, puisqu'alors tu empêches ce genre de choses de se produire, et que ça doit être l'unique obstruction pour que ton résultat soit vrai.
Je suppose que le preuve se ramène alors plus au moins au cas usuel, et ce, assez facilement, en découpant sur chaque intervalle de discontinuité.

__
rvz, avec une vision intuitive de la chose

[LocalStone]

Tu dis ça comme si c'était naturel ... J'ai pas envie de m'embrouiller juste avant les épreuves donc je ne vais pas chercher à tout démontrer proprement maintenant ... Mais surement un peu plus tard.
Donc je te remercie pour tes précisions !
++ !
L.S.

[rvz]

OK, et bon courage pour les concours !

A +,
rvz