Matrice d'une application dans une base donnée
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Matrice d'une application dans une base donnée



  1. #1
    Blueshift

    Matrice d'une application dans une base donnée


    ------

    Bonjour.
    Je suis en train de réviser pour un examen d'algèbre et en faisant un des test des années précédentes je me rends compte qu'il y a quelque chose qui m'échappe. Je vous donne un exemple:

    On note P3 = R≤3[t] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré au plus 3. On définit une application linéaire Ψ : P3 → R2 par
    Ψ(p) = (p(0) − p′(0), p′′(1) + 2p(1)) où p′(t) est la dérivée première et p′′(t) la dérivée seconde de p(t).

    Trouver la matrice de Ψ par rapport aux bases {1, t, t2, t3} ⊂ P3 et {(1, 0), (1, 1)} ⊂ R2.
    On est censé trouver la matrice :
    (-1 -3 -4 -8)
    (2 2 4 8) (matrice 2x4)

    Mais comment est-ce qu'on la trouve ? parce que je sais trouver la matrice d'une application dans les bases canoniques mais là je ne comprends pas...
    Quelqu'un pourrait m'aider svp ?

    Cordialement.
    Blueshift.

    -----

  2. #2
    CARAC8B10

    Re : Matrice d'une application dans une base donnée

    Rien que de plus classique.
    Les vecteurs colonnes de cette matrice sont les images des vecteurs de la base canonique (1,X,X^2,X^3) de R^3[X] exprimées dans la base canonique de R^2 ((0,1), (1,0))
    Par exemple pour P(X) = 1, P(0) - P'(0) = 1 - 0 = 1 et P''(1) + 2 P(1) = 0 + 2 = 2 soit le vecteur (1 , 2)
    Continue ...

  3. #3
    Blueshift

    Re : Matrice d'une application dans une base donnée

    Bonjour et merci de votre réponse mais pourquoi dans la correction on trouve (-1,2) ? et pas (1,2) et comment trouver le (-8,8) ?
    Merci encore.

  4. #4
    feanorel

    Re : Matrice d'une application dans une base donnée

    Soit A une matrice représentant une application linéaire u de E vers F munie des bases (e1,...,em) et (f1,...fn) respectivement.
    La colonne j représente le vecteur image du jème élément de la base de E à savoir u(ej). On le représente comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base de F. A savoir, si la colonne a pour valeurs 1,2,4 par exemple, cela signifie que u(ej) = f1 + 2f2 + 4f3.

    Donc ici tu as Psi(1)= (1 - 0, 0 + 2) = -1*(1,0) + 2 * (1,1) donc la première colonne est (-1,2).

    Est-ce plus clair ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Blueshift

    Re : Matrice d'une application dans une base donnée

    Beaucoup plus clair merci !
    Mais je n'arrive pas à trouver (-8,8) en effet, avec t^3 je trouve (0-0,1+2)=(0,3) mais cela ne fais pas 8*(1,0)-8*(1,1) ...

  7. #6
    CARAC8B10

    Re : Matrice d'une application dans une base donnée

    Mes excuses : j'avais lu l'énoncé trop vite et avais compris que l'on voulait le résultat dans la base canonique de R^2 alors qu'on la veut dans ((0,1),(1,1)) !

  8. #7
    Blueshift

    Re : Matrice d'une application dans une base donnée

    Pas de souci
    Oui et c'est pour cela que je ne comprends pas comment on trouve (-4,4) et (-8,8)...

  9. #8
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Matrice d'une application dans une base donnée

    Bonjour Blueshift.

    Pour p(t)=t^3, p'(t)=3t² et p"(t)=6t
    Ψ(p) = (p(0) − p′(0), p′′(1) + 2p(1)) =(0-0, 6+2*1)=(0,8) = a(1,0)+b(1,1) =(a+b,b)
    donc b=8 et a=-8.

    Cordialement.

    NB le premier vecteur de base est (1,0), pas (0,1)

  10. #9
    Blueshift

    Re : Matrice d'une application dans une base donnée

    Bonjour.
    Ah mais oui ! Merci beaucoup !

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